Разрешение парадокса через ограничения реального мира

История возникновения

Парадокс был впервые описан Даниилом Бернулли в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии».

Формулировка парадокса

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету, пока не выпадет орел. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок не получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орел выпал при первом броске, игрок получает 2, при втором броске – 2 и так далее: при n-ном броске – 2. Другими словами, выигрыш возрастает от броска вдвое, пробегая по степеням двойки – 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса выше любого практически наблюдаемого выигрыша.

Разрешение парадокса через ограничения реального мира

Приведем оценки для решений парадокса через ограничение количества игр и времени.

Предположим игрок может сыграть не более k игр, тогда, если считать, что события с вероятностью не произойдет никогда, средний суммарный выигрыш с вероятностью p приближенно равен:

, где , тогда средний выигрыш равен: , то есть для 10 игр и p = 1/2 получаем средний выигрыш игрока около 15.

Заметим, что при p = 1, то есть с вероятностью 100%, что соответствует математическому ожиданию, v = +¥.

Если считать время одного броска t₀ равным 7 секундам, игрок потратит на k игр:

Если принять T равным 3 часам, то k» 771, т.е. средний выигрыш v» 4 при p = 1/2, что очень сильно отличается от математического ожидания.

Дата добавления: 2015-07-11