Дедуктивный вывод

Своим интеллектуальным превосходством над животными мы почти всецело обязаны нашим способностям выполнять символические операции; только опираясь на них, мы в состоянии осуществлять последовательное рас-

суждение. Неудивительно поэтому, что сторонники идеала безличностной мысли настойчиво преследовали цель свести этот центральный для человеческого интеллекта вид деятельности к операциям, подчиненным строгим правилам. В последнее время эта надежда оюрепла благодаря конструированию высокоэффективных автоматических устройств для различных сложных целей. Зенитные орудия стали снабжать предсказывающими приборами, автоматически управляемыми с помощью тех начальных данных, которые в них вводит артиллерист. Когда прицел орудия наведен на самолет, механизм вычисляет траекторию как быстро движущейся цели, так и снаряда, который будет выпущен по ней, и ориентирует орудие таким образом, чтобы цель наверняка была поражена. Появились автопилоты и управляемые ракеты, а на заводах ввели комплексную автоматизацию. Все это — средства для выполнения сложных интеллектуальных актов без вмешательства человека. Стало ясно, что открылись новые перспективы достичь идеала — мысли, полностью

отделенной от личности.

Поскольку я уже говорил о невозможности формализовать процесс эмпирического вывода, здесь я остановлюсь только на попытках обезличить процесс дедукции.

Мы уже видели, что дедуктивное умозаключение может быть вообще активизированным и что даже наиболее полно формализованные логические операции с необходимостью включают неформализованный скрытый фактор. Мы видели, каким образом страстная сила этого скрытого фактора содействия стимулирует открытия, разжигает споры, поддерживает усилия студента понять то, чему его обучают. Мы видели, как эти побудительные чувства разделяются математиками, работающими в разных областях своей науки, таь. что всеми ими всегда руководят общие нормы, следовать которым они обязывают друг друга своим профессиональным косевсусом. В данном разделе я только вкратце та. с формальной стороны прослежу широко разветвленные эффекты всех этпх неявных компонентов дедуктивных наук. Когда я опишу (гл. 9) весь комплекс процессов личностной вовлеченности в целом, моя аргументация получит достаточно строгий характер, чтобы выдержать ту нагрузку,

которая сейчас на нее ляжет.

Операции, выполняемые цифровыми вычислительными устройствами как машинами логического вывода, сов-

падают с операциями символической логики. Поэтому формализацию, употребляемую при конструировании машин и их использовании данным специфическим образом, мы можем отождествить с процедурой, которой следует конструирование дедуктивной системы. Эта процедура включает в себя следующие три момента: (1) обозначение неопределяемых терминов; (2) перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); (3) правила обращения с этими формулами для записи вновь вводимых формул (доказательства). Доказательство как результат достигается путем непрестанных усилий исключить все так называемые «психологические» элементы, то есть факторы, называемые мною неявными, скрытыми, молчаливыми. Неопределяемые термины, как предполагается, не должны чего-либо означать и остаются завершенными сами в себе просто как знаки на бумаге. Принимаемые без доказательства формулы являются заменой предложений, которые считаются самоочевидными. Равным образом и операции, конституирующие «формальное доказательство», предназначены для «чисто психологического» доказательства.

Однако эта попытка исключить личностное участие самого логика неизбежно оставляет в каждом из этих трех моментов несводимый к логике остаток психологических операций, на которых будут по-прежнему с необходимостью основываться операции, выполняемые формализованной системой.

(1) Принятие знаков на бумаге в качестве символов

подразумевает, что мы, во-первых, верим в свою способность идентифицировать такой знак во всех случаях, когда он нам встретится; и, что мы, во-вторых, осведомлены о том, как его правильно употреблять. И в том и в другом мы можем ошибаться, а поэтому вера в оба эта положения представляет собой взятое нами на себя обязательство. (2) Соглашаясь рассматривать некоторый набор символов как формулу, мы тем самым принимаем его как нечто утверждаемое. Это подразумевает нашу веру в то, что такой набор говорит нечто "и о чем-то. Мы ожидаем, что сможем распознать объекты, удовлетворяющие данной формуле, в качестве отличных от других объектов, которые ей не удовлетворяют. Поскольку процесс, с помощью которого должны удовлетворяться наши аксиомы, по необходимости остается неформализованным, наше санкционирование этого процесса представляет 265

собой с нашей стороны акт самоотдачи. (3) Манипуляцию с символами, согласно механическим правилам, нельзя назвать доказательством, если она выполняется без убежденности в том, что все, что удовлетворяет исходным аксиомам, будет также удовлетворять и тем теоремам, к которым в конечном счете приходят. Нельзя назвать доказательством такое оперирование символами, о котором мы не можем сказать, что оно успешно, в том смысле, что оно убедило нас демонстрацией своих выводов. И здесь опять-таки это признание успеха есть не-формадизуемый процесс, выражающий приверженность определенным принципам.

Итак, можно сказать, что в ряде моментов формальная система символов и операций функционирует как дедуктивная система только благодаря неформализованным дополнениям, которые принимает тот, кто работает с данной системой: символы должны быть идентифицируемыми, а их смысл известным; должно быть ясно, что доказательства что-то демонстрируют; и эта идентификация, знание, понимание, признание суть неформализуемые операции, от которых зависит функционирование формальной системы и которые могут быть названы ее се- мантическими функциями. Эти функции выполняет человек: он выполняет их с помощью формальной системы, когда может положиться на ее эффективность'.

В самом деле, логически абсурдно будет сказать о машине для логического вывода, что она сама по себе приходит к определенным выводам. Сама по себе такая машина есть просто «машина для вывода» и может делать только «выводы». Если мы здесь опустим кавычки, то

' Формализация может идти и дальше, но только применительно к «теории объектов», описываемой в пределах некоторой метатеории, которая сама неформальна. Это наглядно описано в следующем отрывке из «Введения в метаматематику» С. Клини (М., 1957; с. 61): «Метатеория принадлежит интуитивной, неформальной математике... Метатеория будет выражаться на обычном языке с математическими символами, например, метаматематическими переменными, вводимыми по мере надобности. Утверждения метатеории должны быть понимаемы. Ее выводы должны убеждать. Они должны состоять в интуитивных умозаключениях, а не в применении установленных правил, как выводы в формальной теории. Чтобы формализовать предметную теорию, были установлены правила, но теперь без всяких правил мы должны понимать как эти правила действуют. Интуитивная математика нужна даже для определения формальной».

этим выразим, что вверяем себя машине, а потому принимаем выводы,, полученные в результате ее действий, как свои собственные. Законная цель формализации заключена в том, чтобы свести сферу действия неявного фактора к более ограниченным и, очевидно, неформальным операциям; но было бы бессмысленно добиваться полной элиминации нашего личностного участия.

Как мы увидим, это заключение в своей общей форме применимо к любого рода автоматам. Здесь мы можем его подробнее рассмотреть только применительно к процессу логического вывода и к машинам, реализующим этот процесс; но такое рассмотрение весьма поучительно и для логического анализа разного рода автоматических устройств, используемых при моделировании интеллекта.

Наиболее важные теоремы, ограничивающие формализацию логического мышления, принадлежат К. Гёде-лю. Они основаны на том факте, что в любой дедуктивной системе, включающей в себя арифметику (такова, например, система «Principia mathematica» Рассела и Уайтхеда) можно построить формально неразрешимые в этой системе формулы, т. е. высказывания, и что какое-либо из таких высказываний (знаменитое «гёделевское высказывание») само может говорить о себе, что его истинность или ложность недоказуема в данной системе. Построив его, мы можем далее неформальным образом сопоставить его с ситуацией, к которой оно относится, то есть с демонстрацией его собственной неразрешимости, и обнаружить тогда, что то, что говорит данное высказывание, истинно. Соответственно мы решим согласиться с даннвым высказыванием. Будучи таким образом утверждено, высказывание становится дополнительной аксиомой, независимой от аксиом, из которых было выведено

неутвержденное высказывание 1.

Из этой процедуры видно, что любая достаточно богатая формальная система неизбежно неполна и в то же время способна пополняться новыми аксиомами, обоснованно вводимыми в нее нашим личностным суждением. Тем самым предлагается некая модель концептуального нововведения в дедуктивных науках, которая иллюстрирует существенную неисчерпаемость математической эвристики, а также лп^псстпьш п необратимый характер действий, непрерывно эти возможности использующих.

' Go del К. — In: "Manalsh. Math. Phys.", 1931, 38, S. 173—198. 267

Гсдель показал также, что предложение, формальную неразрешимость которого можно доказать, может говорить о невозможности установить непротиворечивость аксиом данной системы. Отсюда, как я уже упоминал, вытекает, что мы никогда до конца не знаем, что означают нашп аксиомы, так как если бы мы это знали, то могли бы избежать утверждения в одной аксиоме того, что дру-1ая отрицает. Эта неопределенность могла бы быть устранена для каждой конкретной дедуктивной системы включением ее в более широкую систему аксиом, в рамках которой непротиворечивость первоначальной системы уже можно было бы доказать. Однако любое подобное доказательство все равно до конца не устранит неопределенности в том смысле, что непротиворечивость расширенной системы аксиом всегда будет оставаться неразрешимой.

А. Тарский путем логического рассуждения, близкого к доказательству теоремы Гёделя, показал, что любая формальная система, в которой мы можем утверждать некоторое предложение и в то же время осмыслить истинность этого утверждения, неизбежно самопротиворечива. Следовательно, в частности, утверждение, что какая-либо теорема, данная в некотором формальном языке, истинна, может быть сделано лишь с помощью предложения, не имеющего смысла в этом языке. Такое утверждение образует часть языка более богатого, чем тот, который включает предложения, истинность которых утверждается '.

Построение гёделевского предложения говорит нам о том, что процесс дедуктивного вывода может породить ситуацию, которая с необходимостью указывает на определенное утверждение, не имплицированное формально его предпосылками. Теорема Тарского о том, что утверж-

' Т а г s k i A. The Semantic Conception of Truth and the Foundations of semantics. — "Philosophy and Phenomenological research" 1944, 4, p. 341—376. Тарский показывает, что можно избежать парадокса лжепа. если разграничивать оба эти языка. Мы пришли к тому же результату, когда говорили, что если фактуальное утверждение делается с помощью предложения р, то <'р истинно» не есть предложение. Для целей данного рассуждения достаточно взять этот результат таким, как он выражен теоремой Тарского о том, что «р истинно» принадлежит другому языку, нежели р — языку, в котором каждому утверждаемому предложению исходного языка соответствует имя этого предложения, то есть то же самое предложение, но взятое в кавычки.

дение истинности принадлежит к формальному языку, логически более богатому, чем (формальный) язык тех предложений, истинность которых утверждается, показывает, что к аналогичному расширению языка ведет вопрос об истинности некоторого ранее утверждавшегося

предложения.

В обоих случаях это расширение проистекает из рефлексии по поводу сделанных до этого утверждений. В случае гёделевской процедуры мы добавляем к формально неразрешимому высказыванию некоторое неявное указание на самих себя. Акт инновации состоит здесь в осознании содержательной истинности сделанного высказывания в этом новом смысле. Процедура же Тарского основывается на «дуальности» утверждаемых предложений. С формальной точки зрения появлением нового при этой процедуре мы обязаны нашей способности поставить под вопрос свое прежнее неэксплицированное согласие и выразить это согласие заново в явном виде.

И в той, и в другой процедуре мы устанавливаем нечто посредством нашего собственного, неотделимого от нас действия, которое не выполняется с помощью формальных операций, хотя и стимулируется ими.

Выше (см. ч. II, гл. 5 книги) я уже описал, каким образом математик совершает открытие, полагаясь то на интуицию, то на вычисления, но никогда не освобождаясь от того или другого полностью. Обычно эти переходы от интуиции к вычислению и обратно постепенны. Сопоставление гёделевского предложения с фактами, о которых оно говорит, и последующее повторное утверждение этого высказывания — эти два акта совместно устанавливают как раз тот отправной пункт, в котором скрытый компонент мышления принимает на себя руководство процессом преодоления логического разрыва1.

' Неявный компонент любого формального процесса вывода выполняет сходную с рассмотренной функцию в процессе отделения консеквента (см.: Jeffreys H. — In: "Brit. Journ. Phil. Sci.", 1955, 5, p. 283. Джеффрио поддерживает здесь аргумент, выдвинутый Л. Кэрроллом: Carroll L. What the Tortoise said to Achilles. — "Mind" N. S. 1895, 4, p. 278). Та же самая неявная операция подразумевается Тарским в его определении истины в связи с переходом от предложения «"Снег бел" истинно» к акту утверждения, что снег бед. Отказ от нулевой гипотезы как опровергаемой статистическими данными — еще один случай, когда решение на основе неявного фактора вынуждается обстоятельствами, по сутп, с необходимостью.

Сходное чередование переходов от интуиции к вычислению и обратно обнаруживается в методе «математической индукции», который Пуанкаре рассматривал как основу всех математических нововведений 1. Согласно этому "методу, прежде всего доказывается последовательность теорем, которые выполняются для некоторой последовательности целых чисел, причем каждая следующая теорема есть следствие предыдущей. Затем отсюда делается вывод, что теорема верна для всех членов натурального ряда вообще. Чтобы сделать такой вывод, разум должен просматривать всю серию доказательств в обратном направлении п обобщать принцип своих собственных прошлых действий.

Аналогия между гёделевской процедурой инновации и правилами открытия, обрисованными Пуанкаре, служит доводом в пользу тесной связи между неформальным актом утверждения и столь же неформальным актом открытия. Различие между ними кроется в том, сколь велик логический разрыв, преодолеваемый в том и другом случае. Разрыв, преодолеваемый при повторном утверждении гёделевского высказывания, чрезвычайно узок, почти незаметен, в то время как в подлинных актах открытия он может быть настолько широк, насколько, вообще бывает широк разрыв, который человеческий ум может надеяться преодолеть. Здесь акт согласия снова оказывается логически родственным акту открытия: оба они представляют собой, по существу, неформализуемые, интуитивные психические решения.

9. Автоматизация: общие вопросы

Обнаруженный Гёделем процесс безграничного разрастания системы аксиом с очевидностью доказывает, что человек, работающий с машиной для логического вывода, может достичь неформальным путем такого диапазона знаний, который невозможен для этой машины самой по себе, даже если выполняемые ею операции указывают на подходы к этому знанию. Следовательно, сила разума превосходит силу машины, способной к логическому выводу. Но встающая в связи с этим проблема имеет более широкий характер. Дело в том, что существуют еще и

' В этом с ним согласен Л. Э. Дж. Брауэр. См.: Weyl H. Philosophy of Mathematics and the Natural Sciences, Princeton 1949, p. 51.

автопилоты, приборы, управляющие артиллерийским огнем, и прочие машины, действие которых не ограничивается логическим выводом. А. М. Тьюринг показал', что можно придумать машину, которая будет как конструировать, так п выдвигать в качестве новых аксиом сколь угодно много гёделевскпх высказываний. Всякий повторяющийся эвристический процесс, примером которого в области дедуктивных наук п служит гёделевский вывод, может выполняться автоматически. Машина может автоматически играть в шахматы. И вообще всякое искусство воспроизводимо в автоматическом процессе в той степени, в какой правила или нормы искусства могут быть сформулированы. Они могут включать в себя даже элемент случайности, который обеспечит, например, процедура подбрасывания монеты, но искусство или знание, не имеющее писаных правил, никогда не сможет стать уделом машины.

Всю сферу автоматических операции мы, конечно, не

сможем описать, с точки зрения тех формальных критериев, которые применимы к машинам логического вывода. Однако необходимость связи машины и человека су-щественяо ограничивает независимость машины и обеспечивает ей статус, подчиненный статусу мыслящего человека. Ибо машина является таковой, только если кто-то целенаправленно использует.ее в этой роли, если кто-то считает, что правильная работа машины будет способствовать достижению определенной цели. Иными словами, машина является инструментом, на который опирается человек. В этом заключается различие между машиной и разумом. Интеллектуальные достижения человека возможны с помощью машины или без её помощи, в то время как сама машина может функционировать только как продолжение человеческого тела и под руководством человеческого разума. Поэтому машина может существовать как машина лишь в системе, состоящей из трех

звеньев:

I разум

II машина

III

функции, цели и т. д., выдвигаемые разумом.

' В выступлении на симпозиуме «Разум и машина» в Манчестерском университете в октябре 1949 г. Этот результат предвосхищался также в работе: Systems of Logic Based on Ordinals. Proc, London Math. Soc., Series 2, 45. (1938—1939), p. 161—228.

27(

И поскольку контроль, осуществляемый разумом над машиной, подобно всякой интерпретации жестко нормированной системы, является неспецифицируемым, можно сказать, что работа машины является интеллектуальным процессом лишь благодаря тому неспецифпцпруемому личностному коэффициенту, который обеспечивается разумом человека, использующего машину.

Дата добавления: 2015-07-11