Читайте также:
|
Следующие процедуры получения новых множеств связаны с понятием подмножества. Говорят, что 
есть подмножество множества 
, если всякий элемент есть элемент . Для обозначения используют запись: 
. Говорят также, что содержится в или включено в , или включает (имеет место включение ). Считают, что пустое множество есть подмножество любого множества и, если фиксировано некоторое универсальное множество, каждое рассматриваемое множество есть его подмножество. Нетрудно проверить, что если 
и 
, то тогда и только тогда, когда высказывание 
тождественно истинно.
Сопоставляя определение подмножества и определение равенства множеств, мы видим, что множество равно множеству тогда и только тогда, когда есть подмножество и наоборот, т.е.
| (1.2) |
Формула (1.2) является основой для построения доказательств о равенстве множеств. Ее применение состоит в следующем. Чтобы доказать равенство двух множеств 
и 
, т.е. что 
, достаточно доказать два включения 
и 
", т.е. доказать, что из предположения 
(для произвольного 
) следует, что 
, и, наоборот, из предположения следует, что . Такой метод доказательства теоретико-множественных равенств называют методом двух включений. Примеры применения этого метода мы дадим позже.
Замечание. Равенство множеств 
и 
означает, что предикаты Р(х) и Q(x) эквивалентны, т.е. предикат Р(х) О Q{x) является тождественно истинным.
Ø Свойства операций над множествами
Введенные выше операции над множествами обладают следующими свойствами:
Каждое из написанных выше равенств, верное для любых входящих в них множеств, часто называют теоретико-множественным тождеством. Любое из них может быть доказано методом двух включений. Докажем этим методом тождество 19.
Пусть 
. Тогда, согласно определению симметрической разности, 
. Это означает, что 
или 
. Если , то 
и 
, то есть 
и при этом 
. Если же , то 
и 
, откуда и . Итак, в любом случае из следует и , то есть 
. Таким образом, доказано, что
Покажем обратное включение 
.
Пусть . Тогда и . Из следует, что или . Если , то с учетом имеем , и поэтому 
. Если же , то опять-таки в силу получаем, что и 
. Итак, или , то есть . Следовательно,
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 141 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Рассмотрим операции над множествами, которые позволяют из уже имеющихся множеств образовывать новые множества. | | | Стратегическая концепция фирмы |