Читайте также:
|
|
Матрица называется обратной к матрице
, если
где
единичная матрица.
Минор матрицы – определитель матрицы, полученной из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных строк и
столбцов. Обозначение: М. Минор
называется дополнительным к минору М и состоит из оставшихся после вычеркивания
-й строки и
-го столбца элементов. Это понятие применяется к квадратной матрице.
Алгебраическое дополнение .
Невырожденной называется квадратная матрица , если
Теорема. Для того чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице , необходимо и достаточно, чтобы матрица
была невырожденной.
Если ,
то обратная матрица имеет вид
,
где алгебраические дополнения элементов
.
Обратную матрицу можно найти и с помощью элементарных преобразований:
Определение 4. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Обозначение:
,
.
Примеры решения задач
Задача 1. Умножить матрицу на число
.
Решение. .
Задача 2. Дано: ,
. Найти
и
.
Решение.
,
каждый элемент умножили на число 2. При умножении определителя на число умножаем на это число какой-либо ряд:
и т.д. В первом случае умножим на 2 первую строку, во втором – второй столбец, в третьем – третий столбец.
Задача 3. Найти произведения ,
,
,
,
,
,
, если они существуют:
Решение. Проверим согласованность матриц ,
,
.
Для :
, длина строк матрицы
не равна высоте столбца матрицы
, следовательно, матрицы перемножать нельзя.
Для :
матрицы согласованы, получим матрицу размерности
:
.
Для – матрицы согласованы, в результате получим матрицу размерностью
:
.
Для :
– произведение не существует.
Для матрицы согласованы
:
.
Заметим, что элементы матрицы произведения получаются при перемножении -й строки матрицы
на
-й столбец матрицы
:
,
.
Для : квадратичная матрица всегда согласована с квадратичной матрицей той же размерности
Задача 4. Дано: ,
. Найти
.
Решение.
,
.
Таким образом, – матрицы коммутативны.
Задача 5. Показать, что является корнем многочлена
.
Решение.
,
так как получили нулевую матрицу, матрица является корнем многочлена
.
Задача 6. Найти определитель произведения матрицы А = на транспонированную
.
Решение.
Пусть , тогда
и
,
Задача 7. Найти обратную матрицу, если она существует:
а) , б)
.
Решение.
а) , матрица
вырожденная, так как
и обратной матрицы не имеет;
б) ,
Найдем алгебраические дополнения
,
,
;
алгебраическое дополнение первой строки запишем в первый столбец обратной матрицы: .
Ищем алгебраическое дополнение второй строки:
,
,
;
.
Ищем алгебраическое дополнение третьей строки:
,
,
;
.
Матрицы порядка больше удобнее искать с помощью элементарных преобразований.
Найдем другим способом – с помощью элементарных преобразований:
.
По определению , тогда:
.
В результате элементарных преобразований получим в левой части равенства единичную матрицу. Преобразования должны проводиться одновременно над левой и правой частью равенства:
Получили 1 на месте элемента , прибавим первую строку ко второй.
;
разделим вторую строку на :
;
вторую строку, умноженную на , вычитаем из третьей:
;
третью строку разделим на :
,
получили нули ниже главной диагонали. Получим нули выше главной диагонали: третью строку, умноженную на , вычтем из второй:
;
вторую строку, умноженную на , вычитаем из первой:
,
слева – произведение .
Итак,
.
Задача 8. Решить двумя способами систему:
Решение.
1) По формулам Крамера:
Неизвестные системы: ,
,
.
Ответ:
2) С помощью обратной матрицы:
,
,
.
Найдем матрицу :
;
.
Итак, , из определения равенства матриц
Задача 9. Решить матричные уравнения
1. ; 2.
Решение. Уравнение вида :
1. ;
;
, так как
, то обратная матрица
существует.
Вычислим
;
;
;
,
тогда, .
Умножаем уравнение на
:
,
,
, тогда
:
.
Ответ: .
2. ,
.
Обратная матрица ,
, произведение
не существует, так как матрицы не согласованы, т.е.
не существует.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить значения матричных многочленов.
1. . Найти
, если
,
. Ответ:
.
2. Найти ,
,
.
Ответ: .
3. Найти , если
,
,
. Ответ:
.
4. Доказать, что является корнем многочлена
, если
,
.
5. Найти , если
,
.
Ответ: .
6. Найти , если
,
.
Ответ: .
7. Найти , если
,
.
Ответ: .
8. Доказать, что является корнем многочлена
, если
,
.
9. Найти ;
, если
.
10. Доказать, что – корень многочлена
, если
;
.
11. Решить системы по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы :
1. ![]() | 2. ![]() |
3. ![]() | 4. ![]() |
5. ![]() | 6. ![]() |
7. ![]() | 8. ![]() |
9. ![]() | 10. ![]() |
Ответ: 1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
12. Решить матричные уравнения
1. ![]() | 2. ![]() |
3. ![]() | 4. ![]() |
5. ![]() | 6. ![]() |
7. ![]() | 8. ![]() |
Ответ: 1. 2. не существует, так как размерность
, а размерность
–
3.
4.
5.
6.
7. не существует, так как
8.
Решение систем алгебраических
уравнений МЕТОДОМ ГАУССА
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 73 | Нарушение авторских прав