Оси естественного трехгранника

Построим в точке M кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 2.6). Первой естественной осью является касательная . Ее положительное направление в сторону возрастающих расстояний. В другой близкой точке кривой , отстоящей от точки M на расстоянии S, построим касательную ( и будут скрещиваться). Проведем в точке M прямую , параллельную . Угол между этими линиями называется углом смежности. Кривизной кривой K в точке M называют предел

(2.8)

Радиусом кривизны кривой в точке M называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке

(2.9)

Вычислим, например, радиус кривизны окружности радиусом R (рис. 2.7). Дуга окружности длиной S, опирающаяся на центральный угол φ выражается зависимостью S=Rφ. Для радиуса кривизны имеем:
.
Проведем плоскость через две пересекающиеся прямые и .
Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки с точкой M называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке M. В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость.

Построим в точке M кривой линии оси естественного трехгранника. Первой осью является касательная (рис. 2.8), или . Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Mn, или . Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим ось . Она определяет положительное направление второй естественной оси.

Прямая, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью Mb, или . Ось, направленная по бинормали так, чтобы три вектора образовывали правую систему осей координат, определит направление третьей естественной оси . Плоскость, проходящая через , называется спрямляющей.

Три взаимно перпендикулярные оси , , – образуют оси естественного трехгранника.

Дата добавления: 2015-12-08