Б. Сложные суждения

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью так называемых логических союзов, каждый из которых отличается от остальных своей функцией. Всего в логике выделяют пять различных логических союзов, которые в естественном языке могут выражаться различными способами. Это - соединительный, разделительный, условный союзы, союз эквивалентности и так называемое внешнее отрицание.

Соединительный союз (логическое “и”) употребляется в тех случаях, когда мы хотим утверждать, что две или более ситуации, которые описываются в соответствующих простых суждениях, на самом деле имеют место. Солнце еще не село, а Луна уже взошла. Студент не понял задания, но вопросов задавать не стал. Красная Шапочка шла по лесу, собирала цветы и встретила Серого Волка. В каждом из приведенных примеров утверждается, что все описанные в сложном суждении события произошли.

Соединительный союз может выражаться словами “и”, “а”, “но”, а может просто опускаться, в таком случае его роль в предложении выполнят запятая (как в третьем примере -... шла по лесу, собирала цветы...). Для обозначения соединительного союза в логике вводится специальный символ - &, который называется конъюнкция (в некоторых учебниках для обозначения конъюнкции применяется символ Ù или же ·). Соответственно, сложные суждения, образованные с помощью этого союза, называются соединительными, или конъюнктивными суждениями.

Разделительный союз в естественном языке выражается с помощью слов “или”, “либо..., либо”, и подобных им словосочетаний. Он употребляется в тех случаях, когда из двух (или более) событий, описываемых простыми суждениями, в действительности состоялось только одно (строгое разделение), или же по крайней мере одно (нестрогое разделение). Либо каждый студент способен научиться свободно говорить на иностранном языке, либо же некоторые студенты не способны этому научиться. Преступники проникли в дом через дверь или через окно. Разделительный союз обозначается символом Ú, который называется дизъюнкция, а сложные суждения с разделительным союзом называются, в свою очередь, дизъюнктивными суждениями. Поскольку разделение может быть строгим и нестрогим, то для обозначения строгой дизъюнкции обычно используются следующие средства: либо над символом дизъюнкции ставится точка, либо же символ дизъюнкции ставится дважды, как бы вкладываясь один в другой. Здесь мы будем обозначать строгую дизъюнкцию просто жирным шрифтом - Ú.

В том случае, когда мы хотим указать, что между двумя ситуациями имеется некоторая связь, используется условный союз если..., то. Первая ситуация при этом рассматривается в качестве условия для возникновения второй. Условный союз в языке может иметь и другие формы выражения: поскольку..., постольку..., при условии, что..., поэтому и т.п. (При условии, что студент сдал все зачеты, он допускается к сдаче экзаменов. Екатерина II была немецкой принцессой, поэтому говорила по-русски с акцентом.) Для его обозначения в логике используются несколько специальных символов, в зависимости от типа связи между ситуациями: É, ®, Þ и некоторые другие. Мы в дальнейшем будем использовать только первый символ, который называется материальной импликацией (или просто импликацией), поскольку анализ различных видов условной связи выходит за рамки нашего курса.

Союз эквивалентности (если, и только если..., тогда, и только тогда... и т.п.) чаще используется в науке, чем в обыденном языке. (Треугольник является равносторонним в том, и только в том случае, когда он является равноугольным.). Однако и в юридической практике он встречается нередко. (Человек считается виновным в преступлении, если, и только если, суд вынес ему обвинительным приговор). Задача этого союза - указать, что некоторая ситуация может возникнуть только при одном единственном условии, и если она имеет место, то и указанное условие тоже имеет место. Для его обозначения в логике используются обычно два символа: º или Û. В дальнейшем для определенности мы будем использовать только первый. Этот символ называется эквиваленция, а суждения, использующие данный союз, называются суждениями эквивалентности.

Последний логический союз (внешнее отрицание) отличается от всех предыдущих тем, что он не связывает два простых суждения в одно, а образует новое, более сложное суждение только из одного простого. Неверно, что Колумб нашел новый путь в Индию. Неверно, что Шерлок Холмс был сыном миссис Хадсон. В логике этот союз обозначается символом ù и носит название негация. В естественном языке подобная форма выражения чаще всего используется для того, чтобы отрицать чье-либо утверждение. В случае же, когда нам просто требуется отрицать какой-либо факт, обычно используется частица не. Колумбу не удалось найти новый путь в Индию. Шерлок Холмс вообще не был родственником миссис Хадсон. Поскольку отрицательное суждение практически всегда означает то же самое, что и отрицание соответствующего утвердительного суждения, то мы при анализе сложных суждений можем рассматривать любые отрицательные суждения как сложные, то есть приравнивать внутреннее отрицание (не) к внешнему (неверно, что).

Вполне очевидно, что истинность или ложность сложных суждений будет зависеть от того, истинны или ложны входящие в их состав простые суждения. Отвлекаясь от многих тонкостей понимания смысла суждений, содержащих различные логические союзы, в дальнейшем условимся считать, что каждый из этих союзов однозначно определяет истинностное значение сложного суждения, когда известно истинностное значение составляющих его простых суждений. Эта определенность может быть описана посредством следующей таблицы.

A B	A&B	AÚB	AÚB	AÉB	AºB	ùA
и и	и	и	л	и	и	л
и л	л	и	и	л	л	л
л и	л	и	и	и	л	и
л л	л	л	л	и	и	и

Здесь буквами A и B обозначены произвольные суждения, а буквы и и л обозначают их возможные истинностные значения - “истина” и “ложь”. Чтобы подчеркнуть идеализированный характер подобного описания функций логических союзов, эту таблицу в логике называют табличным определением логических связок, тем самым указывая, что в дальнейшем конъюнкция, дизъюнкция и другие союзы будут пониматься исключительно в этом смысле. Содержательно же таблицу можно описать следующим образом.

1. Конъюнкция истинна, если только оба ее члена - истинные суждения, во всех остальных случаях она ложна.

2. Дизъюнкция ложна, если только оба ее члена - ложные суждения, во всех остальных случаях она истинна.

3. Строгая дизъюнкция истинна, если только один из ее членов - истинное суждение, во всех остальных случаях она ложна.

4. Импликация ложна, если только ее левый член (антецедент) истинен, а правый (консеквент) - ложен, во всех остальных случаях она истинна.

5. Эквиваленция истинна, если оба ее члена имеют одинаковые истинностные значения, во всех остальных случаях она ложна.

6. Негация истинна, если отрицаемое суждение ложно и негация ложна, если отрицаемое суждение истинно.

Определение импликации требует некоторых пояснений. Из таблицы видно, что импликация истинна во всех случаях, когда ее антецедент ложен, т.е. когда условие не имеет места. Поясним на примере, что именно здесь имеется в виду. Рассмотрим высказывание “ Если Иванов совершил кражу, то он должен быть наказан ”. Очевидно, что данное суждение мы будем считать истинным, поскольку кража - уголовно наказуемое деяние. Предположим теперь, что Иванов не совершал никакой кражи и вообще не совершал ничего предосудительного с точки зрения законодательства. Тогда суждения “Иванов совершил кражу” и “Он должен быть наказан”, очевидно, будут ложными. Однако, на истинности нашего условного суждения это не отразится. Ведь действительно, если бы Иванов совершил кражу, то его следовало бы наказать. Мы не утверждаем наличие в действительности этих ситуаций самих по себе, а утверждаем лишь наличие необходимой связи между ними. Тем самым мы оправдали четвертую строку табличного определения импликации: если A и B принимают значение “ложь”, то AÉB принимает значение “истина”.

Проанализируем другую возможность. Пусть теперь Иванов совершил мошенничество, а не кражу. Тогда он все равно должен быть наказан, но уже в соответствии с другой статьей Уголовного Кодекса. То есть, суждение “Иванов совершил кражу” по-прежнему ложно, а суждение “Он должен быть наказан” стало истинным. Но и в этом случае наша убежденность в истинности суждения “Если Иванов совершил кражу, то он должен быть наказан”, очевидно, останется непоколебимой. Пусть Иванов совершил другое преступление, но если бы он совершил кражу, то он должен был бы быть за нее наказан. Таким образом, получает оправдание третья строка табличного определения импликации: если A принимает значение “ложь”, а B принимает значение “истина”, то AÉB принимает значение “истина”.

На основании табличных определений логических связок можно построить таблицу истинности для любого сложного суждения. Покажем, как это делается, на примере высказывания “ Если студент изучает логику и теорию государства и права, то он является первокурсником юридического факультета ”.

Прежде всего, выделим простые суждения, входящие в его состав. Их три: “Студент изучает логику”, “Студент изучает теорию государства и права” и “Студент является первокурсником юридического факультета”. Каждое из этих суждений обозначим какой-нибудь буквой латинского алфавита. (Обычно для этих целей в логике используют буквы p, q, r и т.д. Эти символы называются пропозициональными переменными.) Пусть первое суждение обозначается буквой p, второе - q, а третье - r. Первые два суждения связаны между собой конъюнкцией - p&q, а третье присоединяется к ним с помощью импликации - (p&q)Ér. Полученная формула является логической фор-мой нашего суждения. Итак, первый шаг для построения таблицы истинности какого-либо высказывания - выявление его логической формы. Далее следует определить количество строк в таблице. Оно равно 2ⁿ, где n - число различных пропозициональных переменных в формуле. В нашем случае n=3, поэтому число строк в таблице равно 8. После этого можно начинать строить таблицу. В левом столбце таблицы выписываются по порядку все различные пропозициональные переменные, входящие в формулу, а в правом записывается сама формула. Далее в левом столбце выписываются все возможные комбинации истинностных значений пропозициональных переменных. Стандартным способом это делается так. Число всех строк делится на два (8:2=4) и в верхней половине (в первых четырех строках) под первой пропозициональной переменной записывается подряд (4 раза) буква “и”, обозначающая значение “истина”, а затем в нижней половине строк под первой пропозициональной переменной записывается подряд (тоже 4 раза) буква “л”, обозначающая значение “ложь”. После этого верхняя половина строк таблицы также делится на два (4:2=2) и под второй пропозициональной переменной в верхней части этой половины записывается подряд (два раза) буква “и”, а в нижней части этой половины записывается буква “л”. Затем точно также нижняя половина строк таблицы делится на два и здесь в ее верхней части подряд записывается буква “и”, а в нижней части подряд записывается буква “л”. Вся процедура повторяется для каждой оставшейся пропозициональной переменной. В конце концов, для последней пропозициональной переменной мы получаем простое чередование значений в строках таблицы - “и”, “л”, “и”, “л” и т. д. В результате нашего построения мы гарантируем себе, что ни одна из возможных комбинаций не пропущена и каждая из строк в левом столбце таблицы отличается от любой другой. Первая строчка при этом содержит только буквы ”и”, а последняя - только буквы “л”. Далее переходим к правому столбцу таблицы. Сначала определяем значение той части формулы, которая заключена в скобки (в нашем случае - p&q). Делается это в соответствии с табличным определением той логической связки, которая содержится в этой части формулы (у нас - &), т. е. мы смотрим, какое значение принимают пропозициональные переменные в данной строке таблицы и записываем в этой строке результирующее значение для сложного выражения. После того, как будет построен весь столбец значений, соответствующих этой части формулы (в нашей таблице столбец для p&q является следующей последовательностью: “и”, “и”, “л”, “л”, “л”, “л”, “л”, “л”), можно переходить к следующей ее части (для нас это будет уже итоговый столбец). Здесь ее значения будут также определяться в соответствии с табличным определением входящей в эту часть формулы логической связки, а значения ее частей будут браться из столбцов, которые соответствуют выражениям, составяляющим левую и правую части (для нас это будут значения выражений p&q и r). В итоге полученная таблица должна выглядеть следующим образом.

p q r	(p & q) É r
и и и	и и
и и л	и л
и л и	л и
и л л	л и
л и и	л и
л и л	л и
л и и	л и
л л л	л и

Легко заметить, что в последнем столбце таблицы значение “ложь” встречается только однажды - во второй строке. Это означает, что наше суждение окажется ложным только в одном случае, когда пропозициональные переменные p и q примут значение “истина”, а пропозициональная переменная r примет значение “ложь”. То есть высказывание “ Если студент изучает логику и теорию государства и права, то он является первокурсником юридического факультета ” будет ложным только в том случае, когда высказывания “Студент изучает логику” и “Студент изучает теорию государства и права” - истинны, а высказывание “Он является первокурсником юридического факультета” - ложно. Высказывания, у которых в результирующем столбце таблицы истинности встречаются как значения “истина”, так и значения “ложь”, называются выполнимыми высказываниями. Их реальная истинность или ложность зависит от фактических обстоятельств, которые делают истинными либо ложными входящие в состав сложных высказываний простые суждения. Но есть два специфических класса высказываний, чье значение от фактического положения дел не зависит. Это так называемые тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания. Рассмотрим высказывания, имеющие следующие логические формы: (p&q)É(qÚr) и (pÚq)º(ùp&ùq). Их таблицы истинности будут выглядеть следующим образом.

p q r	(p & q) É (q Ú r)
и и и	и и и
и и л	и и и
и л и	л и и
и л л	л и л
л и и	л и и
л и л	л и и
л и и	л и и
л л л	л и л

p q	(p Ú q) º (ùp & ùq)
и и	и л л л л
и л	и л л л и
л и	и л и л л
л л	л л и и и

Как видно из первой таблицы, результирующий столбец для этой формулы, расположенный под знаком импликации, содержит только значение “истина”. Это означает, что любое высказывание естественного языка, имеющее такую логическую форму, будет истинным независимо от того, о чем в нем говорится, и от того, истинны или ложны составляющие его простые суждения. Высказывания такого вида имеют еще одно название: законы логики высказываний. Во второй таблице результирующий столбец для формулы расположен под знаком эквиваленции и содержит только значение “ложь”. Следовательно, все высказывания, имеющие соответствующую логическую форму, окажутся ложными независимо от их содержания. Они также носят специальное название логических противоречий.

Вообще говоря, при таком понимании законов логики их количество оказывается бесконечно большим. Тем не менее, среди них выделяют так называемые основные законы логики. Это закон тождества, закон исключенного третьего, закон непротиворечия и закон достаточного основания. Первые три закона можно выразить имеющимися у нас символическими средствами. Закон тождества запишется в виде формулы pÉp. Легко убедиться, что эта формула представляет собой тождественно-истинное высказывание.

p	p É p
и	и
л	и

Закон тождества выражает следующее требование: каждое высказывание в процессе его использования в рассуждении должно сохранять свое истинностное значение неизменным. То есть, если какое-либо утверждение было принято в качестве истинного, то мы не можем в дальнейшем произвольно изменить его значение и считать его в какой-то момент ложным. И наоборот, нельзя ложное высказывание впоследствии произвольно считать истинным.

Закон исключенного третьего имеет следующее символическое выражение: pÚùp. То, что высказывания такой формы также являются тождественно-истинными, показывает соответствующая таблица.

p	p Ú ùp
и	и л
л	и и

Закон исключенного третьего говорит о том, что из пары противоречащих друг другу суждений (самого суждения и его отрицания) одно из суждений обязательно окажется истинным. То есть, для нахождения истины достаточно рассмотреть пару суждений, третье суждение оказывается лишним. Отсюда и происходит название закона.

Закон непротиворечия записывается так: ù(p&ùp). Его таблица также содержит только две строки.

p	ù(p & ùp)
и	и л л
л	и л и

Этот закон показывает, что в паре противоречащих друг другу суждений (в паре, состоящей из суждения и его собственного отрицания) одно из суждений обязательно окажется ложным. То есть, нельзя одновременно принимать за истинные некоторое суждение вместе с его отрицанием. Такое принятие и будет противоречием.

Четвертый закон (закон достаточного основания) не может быть формально выражен с помощью известной вам символики, но его содержательное требование также является довольно легким для понимания. Истинность любого высказывания должна обосновываться (иметь достаточное основание). В качестве такого обоснования может рассматриваться его логическая связь с другими суждениями, истинность или ложность которых уже установлена ранее, либо же им может служить непосредственное обращение к фактам действительности, если это является возможным. Так, истинность теоремы Пифагора обосновывается с помощью других суждений, а истинность суждения “ Собаки имеют четыре ноги ” - ссылкой на факты.

Дата добавления: 2015-12-07