Комплексная плоскость

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть существует такое число, квадрат которого равен минус единице. Будем называть это число мнимой единицей и обозначать буквой i (от слова image):

	i ^2 = - 1.

Выражение

z = x + iy,

где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица, называется комплексным числом. Числа x и y в этом равенстве называются вещественной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются соответственно

x = Re z, y = Im z.

Числа, у которых мнимая часть равна нулю: , являются чисто вещественными. Таким образом, множество R всех вещественных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел C.

Числа, у которых равна пулю вещественная часть: , называются чисто мнимыми.

Число вида называется комплексно-сопряженным к числу .

Очевидно: , .

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части:

; ;

В частности, и .

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Введем операции над комплексными числами, рассматривая их как многочлены первого порядка относительно мнимой единицы i.

Сложение и вычитание.

.

Таким образом, имеем

,

.

Для комплексно-сопряженных чисел получим

,

.

Умножение.

При умножении будем учитывать, что под мнимой единицей понимается такое число, квадрат которого равен минус единица, то есть . Тогда получим

.

Таким образом,

,

.

Перемножим два комплексно-сопряженных числа:

.

Следовательно, произведение двух комплексно-сопряженных чисел есть чисто вещественное число.

Деление.

Для получения формулы деления одного комплексного числа на другое воспользуемся тем, что произведение комплексно-сопряженных чисел есть число чисто вещественное: чтобы знаменатель стал вещественным числом, умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

.

Таким образом,

; .

Замечание. Вычитание и деление комплексных чисел можно определить, как действия, обратные определениям сложения и умножение, а именно:

1) .

2)

, .

Пример 1. Пусть ; . Тогда:

1) ; ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Убедимся, что числа, найденные в примерах 5 и 6, взаимно-обратные, т.е. их произведение равно единице:

.

Свойства сложения и умножения комплексных чисел (без доказательств):

1. — коммутативность сложения или перестановочный закон.

2. — ассоциативность сложения или сочетательный закон.

3. — коммутативность умножения.

4. — ассоциативность умножения.

5. — дистрибутивность или распределительный закон.

Свойства комплексно-сопряженных чисел (без доказательств):

6. .

7. .

8. .

9. .

10. ; .

КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим плоскость с декартовой прямоугольной системой координат . Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие точку плоскости (см. рис. 1), причем это соответствие взаимно однозначное. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называется комплексной плоскостью.

Так как на оси располагаются чисто вещественные числа , то она называется вещественной осью. На оси располагаются чисто мнимые числа , и эта ось называется мнимой осью.

Иногда удобнее сопоставлять комплексное число не с точкой плоскости , а с радиусом-вектором этой точки, т.е. с вектором, который соединяет начало координат с рассматриваемой точкой. В этом случае можно говорить о модуле комплексного числа, равном модулю вектора :

. (1.1)

Из свойств комплексно-сопряженных чисел получаем: .

Угол, образованный осью и вектором , называется аргументом комплексного числа z и обозначается

, где .

Отметим, что для аргумент не определен.

Очевидно, что величина аргумента комплексного числа определяется неоднозначно. Наименьшее по модулю значение аргумента называется его главным значением и обозначается .

Таким образом, имеем

; , .

Для аргумента комплексного числа с учетом следующих равенств:

; ; , где . (1.2)

Отсюда получим

.

Дата добавления: 2015-11-26