Вывод производных основных элементарных функций

Получим формулы для нахождения производных основных элементарных функций.

1. . При нахождении производной функции используем определение производной, формулы преобразования тригонометрических выражений и первый замечательный предел.

.

2. . Используем формулы приведения и производную сложной функции, получим

.

3. . Используем формулу дифференцирования частного, получим

.

4. . .

При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.

5. . Для обратной функцией является .

.

6. .

.

7. . .

8. . .

9. .При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.

. В частном случае, когда a = e, .

10. При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция. .

В частном случае, когда a = e , .

11. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование. .

12. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

= .

Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.

13. Производная функции, заданной неявно.

Функция называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо каждое слагаемое уравнения продифференцировать по x, учитывая, что y зависит от x, и из получившегося уравнения найти .

2 вопрос

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейное относительно искомой функции и ее производных, т. е. функция и ее производные входят в уравнение только в первой степени.

В общем случае линейное дифференциальное уравнение имеет вид ,

где - непрерывные функции.

Дата добавления: 2015-12-07