Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

· Матрица квадратичной формы

Определение 4.1. Уравнение второго порядка вида

определяет на плоскости кривую.

Замечание. Группа членов называется квадратичной формой, а группа линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.

Определение 4.2. Матрица вида:

называется матрицей квадратичной формы. Здесь .

Чтобы матрицу квадратичной формы привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда матрица примет вид

,

где , -собственные числа матрицы.

В базисе из собственных векторов матрицы квадратичная форма будет иметь канонический вид: . (Операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, чтобы избавиться тем самым от линейной формы.)

Канонический вид кривой второго порядка будет иметь вид:

,

причем:

1) если , – эллипс, в частности, при имеем окружность;

б) если , (, ) имеем гиперболу;

в) если либо , то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид:

(здесь )

Дополняя до полного квадрата, будем иметь: .

Приведение уравнений кривых к каноническому виду

Дата добавления: 2015-12-07