Координаты вектора в ортонормированном базисе.

Теорема: если ē₁,...,ē_n ортонормированный базис неравенства V
и x₁,...,x_n координаты вектора х в этом базисе, то х₁=

Доказать:

69.Выражение скалярного произведения векторов и
длины вектора в ортонормированном базисе.

Теорема:

Если ортонормированный базис, неравенства V и ,
то

Доказательство: используя св-ва скалярного умножения получаем

70 Линейная независимость попарно ортогональных ненулевых векторов.

Т. Линейная независимость попарно ортогональных ненулевых век.

Док-во: ] ненул. векторы а1,...аn,попарно орт. и ] イ1a1,…イnan=0

Тогда для любого i=1,...,n-> получаем: イ1a1•а i=0, л1•||а i||^=0 -> Т.к ||аi||не равно 0,то イi-0.

71. Существ ортонормированного базиса в вект пр-ве
Ортогонализация

Т. В любом векторном пространстве ] ортогормированного базиса

план док-во:

1.достаточно доказать,что существует ортогональный базис

Выбираем произволь-й базис а1,...аn Прост-ва.

3. Берем е1=а1

4. Строим е2 такой,что е2_|_е1

5. Строим е3 такой,что е3_|_е1, е3_|_е2

6. Строим еn ортогон е1,е2 и е3 и тд

7. В итоге набор попарн ортог век-ов е1,е2,...,еn.Доказываем что построенные век-ры ненулев.

72.Всякий ортогональный базис можно дополнить до ортогонального базиса всего пр. Док: ] W -подпр. Прост.

1. Берем в W произвол ней базис е1,...,еn

Дополняем его произ вольным образом до базиса е1,...,ек, Ак+1,...,Аn всего пространства

Применяемых ортогонализацию к получ. Базису пространства

Получим ортогональный базис пространств V,в. Первые K векторов образуют пространство W

73. Вект Ортогональный подпр-ву
] W подпр. прост. V.

Вектор а прост V назыв ортогональным подпр. W. если он ортогонален каждому вектору W

74 признак ортогональности век-ра подпр-ву

Т.: Пусть W – подпр-во вект. Пр-ва V, a1,…,ak-произвольный базис W.
Для того, чтобы вект а пр-ва V был ортогон-н подпр-ву W,
НИД: в-р а ортогонален каждому из в-ров а1,…,ак

Д-во:

Если в-р а орт. Любому в-ру из W, то он орт в-рам а1,..,ак

Обратно, пусть в-р а орт в-рам а1,..,ак. Докажем, что он орт любому в-ру из W

Рассмотрим произвольный в-р х из W. Т.к.а1,..,ак – базис W,
то в-р х можно представить в виде х=х1а1+..+хкак

75 ортогон-е дополн-е

Множ-в всех в-ров пр-ва V, орт-х подпр-ву W, обознач-ся
и назыв ортогональным доп-ем пр-ва W

76 Т.: орт дополн-е W^⊥подпр-ва W пр-ва V явл подпр-вом пр-ва V

1)a , люб х ах=0

b люб х W bх=0

(а+ b)х = ах+бх=0

а+б

77 базис ортогонального дополнения

Т.: пусть В – вект пр-во, Р – подпр-во пр-ва В, пусть е1,..,ек – произв-й орт базис в Р.
Дополним его произвольным образом до ортогональн базиса всего пр-ва В: е1,..,ек, е(к+1),..,ен.

Тогда пследов-ть в-ров е(к+1),..,ен явл базисом пр-ва Р^⊥

78 Р – подпр-во вект пр-ва В. Тогда произв в-р а из В можно единств образом представ
в виде а=б+с, где б ∈ Р и с ∈ Р^⊥

е 1,..,ек – базис Р, е(к+1),..,ен – базис Р^⊥

Берем люб а ∈ В:

а = х1е1+..+хкек + х(к+1)е(к+1)+..+хнен

|| ||

б с

78.всякий вектор пространства представить ед.обр. В виде суммы

вектора и ортогон.дополнения

Пусть W-подпр-во векторн. Прост-ва V Тогда произв.вектор а из V

можно ед.образом представить в виде a=b+c, где b прин.W;с прин.W┴

79.проекция вектора на подпространство

Для произвольн. Вектора от прост-ва V сущ. единств.представление

в виде a=b+c где b принадл.W и с принадл.W┴.Вект b наз.проекцией

вектора а на подпр-во W и обозначается pr_W(a)

80.Перпендикуляр короче наклонной:

пустьVвект.про-во и Wего подпр-во;bпроизв.вект.из под-ва W,

отличн. От pr_w(a) тогда || a-pr_w(a)||<||a-b1||

ab1=(a-b)+(b-b1)

a-b ортогW; b-b1 принадл. W; a-b ортог b-b1

по теореме пифагора:

||a-b1||²=||a-b||²+||b-b1||²

||a-b1||²>||a-b||²

||a-b1||>||a-b||

81.нахождение проекции вектора на подпр-во:

b-? Должен 1)b принадлW 2) a-b ортог.W Решение:

1.а1,..,а_к-базисW 2.(a-b)*a1=0...(a-b)*an=0 =>

a*a1=b*a1...a*ak=b*ak

Условие 1 означ,что bможно выраз.через базис W

Нужно опред.коэф.для выраж.b

(x1a1+..+xkak)*a1=a*a1

(x1*a1+..+xk*ak)*ak=a*ak

x1(a1*a1)+...+xk(ak*a1)=(a*a1)

x1(a1*ak)+..+xk(ak*ak)=a*ak значения х надо подставить:

b=x1a1+..+xkak

если a1...ak-ортог. Если ортонормир.

x1(a1a1)=a1a1 x1=aa1

….............. ….......

xk(akak)=aak xk=aak

82.Метод наименьших квадратов.

Х-цена тов.,у-кол-во товара

y₁=kx₁+b

y₂=kx₂+b

…..........

y_n=kx_n+b

нужно чтобы разница правых и левых частей была минимальной

(у₁-(кх₁+b))²+(у₂-(кх₂+b))²+..+((у_n-(кх_n+b))²

ищем k,b так, чтобы эта величина была наименьшей

у₁ х₁ 1

у₂ = k х₂ + b 1

…..........................

у_n х_n 1

W подпр-во пр-ва Rⁿ пораждается векторами х1-хn и 11..1

ищем проекцию у1-уn на W и выражаем её через

вектор х1-хn и 11..1

Дата добавления: 2015-12-07