Признак Раабе. Признак Гаусса.

Практическое занятие 11

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.

Теорема (признак Даламбера) (Жан Лерон Даламбер (1717 -1783) – французский математик и механик).

Дан ряд , при всех :

1) если найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если , то при ряд сходится;

если , то при ряд расходится.

На практике, в основном, применяется более слабое условие:

Дан ряд , при всех и если

, тогда

№ 1. Исследовать на сходимость ряд:

1. . 2. . 3. . 4. а) ; б) ; в) .

Решение. № 1. 1. Проверим необходимый признак. Найдем .

Так как = 0, необходимый признак выполнен. Применим достаточный признак – признак Даламбера.

Найдем . Так как =0, 0 < 1. Данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема (радикальный признак Коши) (Огюстен Луи Коши (1789 -1857)–французский математик и механик).

Дан ряд , при всех :

1) если найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если , то при ряд сходится.

На практике, в основном, применяется более слабое условие:

дан ряд , и если

, тогда

№ 2. Исследовать на сходимость ряд:

1. . 2. . 3. .

Формула Стирлинга .

4. . 5. . 6. .

Теорема (интегральный признак Коши).

Если неотрицательная, невозрастающая, непрерывная функция, то ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

№ 3. Исследовать на сходимость ряд:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

Домашнее задание №№ 2578 – 2580, 2583-2586, 2589, 2619-2620.

№№ 2593, 2595-2597.

Практическое занятие 12

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признак Раабе. Признак Гаусса.

Теорема (признак Раабе) (Иозеф (Жозеф) Раабе (1801-1859) – швейцарский математик).

Дан ряд , при всех .

1) Если существует число и найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если

, тогда

Теорема (признак Гаусса) (Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) немецкий математик).

Дан ряд , при всех , ε > 0 – некоторая постоянная и

,

то

1) ряд сходится при λ > 1 и расходится λ < 1;

2) если λ = 1, то ряд сходится при μ > 1 и расходится μ < 1.

№ 1. Исследовать на сходимость ряд:

1. .

2. . 3. .

Оценка остатка знакоположительного ряда.

№ 2. Оценить остаток ряда .

№ 3. Сколько членов ряда следует взять, чтобы вычислить сумму ряда с точностью до 0,002?

Дата добавления: 2015-11-26