Читайте также:
|
Лекции 1 курс 1 семестр
1. Элементы линейной алгебры
Лекция ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим основные определения, свойства и правила вычисления определителей.
Основные определения
Рассмотрим квадратную матрицу, т.е. квадратную таблицу чисел, состоящую из n строк и столбцов
.
Так называемым определителем n-го порядка, соответствующим матрице А,
является следующее выражение: 
или det A или 
.
Определители n-го порядка
Пусть дана квадратная матрица порядка n
Соединим любые 2 элемента матрицы отрезком прямой (кроме прямых вертикальных и горизонтальных, т.е. наклонной. Отрезки, которые идут слева сверху вниз направо называются положительными. Отрезки, которые идут сверху справа вниз налево называются отрицательными. Определитель (детерминант) n -го порядка соответствующий этой матрице обозначается так:
Определитель – это число. Оно равно алгебраической сумме элементов матрицы так, что каждое слагаемое содержит ровно по одному элементу из каждого столбца и ровно по одному элементу из каждой строки. Знак слагаемого определяется так: если число колонок отриц. четно, то плюс, если число нечетно, то минус.
Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле:
,
при этом 
принято называть элементами главной диагонали, а 
- элементами побочной диагонали данного определителя. Таким образом, определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Примеры.
1. Вычислить определители: а) 
; б) 
.
Решение. а) = 
= 
;
б) = 
.
2. Решить уравнение 
.
Решение. .
Раскроем определитель 2-го порядка, тогда в левой части уравнения получим:
.
Тогда данное уравнение принимает вид:
.
Ответ. 
Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:
В составлении формулы помогают следующие две схемы (правило Саррюса):
Со знаком «+» берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали (схема 1).
Остальные слагаемые вычисляются по схеме 2, где за основу взята побочная диагональ. При этом произведения, вычисленные по второй схеме, берутся с обратным знаком.
Пример.
Вычислить определитель третьего порядка: 
.
Решение. 1. 
.
Вычислили произведения, которые берутся со своим знаком.
2.
.
Вычислили произведения, которые берутся с обратным знаком.
3. 
.
При вычислении определителя третьего порядка можно использовать другое правило.
К матрице, для которой составлен определитель третьего порядка, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбцы:
Произведения чисел, стоящих на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берутся со своим знаком, а произведения чисел, стоящих на побочной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, с противоположным знаком. Тогда,
Определение 1.1.1.
Рассмотрим определитель n-го порядка: = .
Выберем любой элемент определителя , например, 
. Вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых находится , из оставшихся элементов составим определитель (n - 1)-го порядка. Этот определитель называется минором для элемента и обозначается 
.
Примеры.
Пусть дан определитель 3-го порядка: = 
.
Для элемента 
минором является 
= 
,
для элемента 
минором является 
= 
,
для элемента 
минором является 
= 
.
Определение 1.1.2.
Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка (обозначается А 
) называется его минор, взятый со знаком (—1) 
, где i — номер строки, j — номер столбца, на пересечении которых находится элемент , т.е.
.
1.2. Свойства определителей.
1.2.1. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения
(это свойство позволяет свести вычисление определителя n-го порядка к определителю (n—1)-го порядка и носит название - «разложение определителя по элементам какой-либо строки (столбца)»):
(приведены разложения по элементам 1-ой строки, 3-го столбца соответственно и т.д.). В общем случае 
.
Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка:
.
Разложим определитель по элементам 1-ой строки:
Разложим определитель по элементам 2-го столбца:
1.2.2. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменится (равноправность строк и столбцов), т. е.
= 
.
1.2.3. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный, т.е. например,
= 
(поменялись местами 1-й и 2-ой столбцы).
1.2.4. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя на одно и то же число 
равносильно умножению на определителя.
Иными словами, общий множитель всех элементов данной строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е. например,
1) 
= 
;
2) 
1.2.5. Если элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен нулю.
1.2.6. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя пропорциональны (в частности, равны) соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю, т.е. например,
(элементы 1и 2 столбцов определителя пропорциональны)
1.2.7. Если каждый элемент k -ой строки (столбца) (k =1, 2,..., n) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в k-ой строке (столбце) стоят первые слагаемые, а в другом — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же, т. е. например,
1.2.8. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, т.е. например,
= 
1.2.9. Если в определителе порядка n имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению единственного определителя порядка (n - 1).
1.2.10. Если же в определителе n-го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, используя свойство 1.2.8. определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.
Пример. Вычислить определитель 
.
Решение. К 3-й строке прибавим 1-ю (т.е. к элементам 3-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки):
Прибавляя к первой строке удвоенную третью, ко второй – третью, умноженную на (-2), а к четвёртой строке – третью, умноженную на (-2), получим
Вынесем за знак определителя общий множитель 3-й строки и получим:
Прибавляя ко 2-й строке - 1-ую, умноженную на 5, к 3-й строке – 1-ую, умноженную на (-2), получим:
.
1.2.11. 
.
1.2.12. 
.
Примеры для самостоятельного решения
1.3.1. Вычислить (раскрыть) определители:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Лекция на тему «Формулы Крамера»
Df Уравнением называется равенство, справедливое не для всех значений переменных.
Df Если равенство справедливо для любых значений переменной, то оно называется тождеством.
1) (х+2)2 = х2+4х+4 – тождество
2) (х+2)2 = х+2 – уравнение
Df Если множества решений двух уравнений совпадают, то эти уравнения называются равносильными или эквивалентными.
1) 
2) 
Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же выражение, то получается равносильное уравнение.
Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на выражение, неравное нулю, то получится равносильное уравнение.
Df Решением системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными называется такая упорядоченная пара чисел х 
и у , при подстановке которых соответственно вместо х и у в оба уравнения получаются верные равенства.
Df Система называется совместной, если существует хотя бы одно её решение; если у неё нет решения, то – несовместной.
Df Если у системы существует единственное решение, то она называется определённой; если – бесконечное множество решений, то – неопределённой.
Способы решения:1) подстановка; 2) алгебраическое сложение; 3) умножение или деление; 4) графический; 5) замена переменной; 6) метод определителей.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 45 | Нарушение авторских прав