Функция 
называется непрерывной, если 
. Это определение
означает, что функция непрерывна, если при малых изменениях 
соответствующие значения функции тоже мало изменяются. Те точки, где это условие не выполняется, называются точками разрыва.
При вычислении предела в точке a приближаться к этой точке по оси 
можно
слева и справа. Поэтому рассматривают односторонние пределы – «слева» и «справа».
Обозначают односторонние пределы следующим образом:
- предел «справа», 
- предел «слева».
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Пример. Найти односторонние пределы функции 
в точке 
.
Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва. Их делят на три вида: устранимый разрыв, разрыв первого рода, разрыв второго рода.
1) Если 
, то 
- точка устранимого разрыва.
2) Если 
но 
,
то - точка разрыва первого рода
3) Если хотя бы один из односторонних пределов равен 
, то -точка разрыва второго рода
Если оба предела и значение функции совпадают, то есть 
, то в точке функция непрерывна.
Задание 1. Построить график заданной функции, определить характер точек разрыва, вычислить в этих точках пределы слева и справа.
Непрерывность этой функции может нарушаться в точках «стыка», то есть при 
. Найдем односторонние пределы в этих точках.
Значит, точка 
- разрыв первого рода.
Значит, точка 
- точка непрерывности.
Значит, точка 
- разрыв второго рода.
Строим график функции.
Пусть задана функция 
.Обозначим 
- малое приращение . Тогда производной 
называется 
Правила дифференцирования.
1). Производная от числа равна нулю: 
2). Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 
3) Производная суммы равна сумме производных:
4) Правило для произведения функций: 
5) Правило для дроби: 
Таблица производных.
1) 
8) 
2) 
9) 
3) 
10) 
4) 
11) 
5) 
12) 
6) 
13) 
7) 
Найти производные функций.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Напомним, что 
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 54 | Нарушение авторских прав