Групповая скорость.

До сих пор, говоря о скорости распространения волн, мы говорили о фазовой скорости, т. е. о скорости, с которой распространяется поверхность одинаковых фаз. В уравнении плоской волны

величина V есть фазовая скорость, т. е. скорость, с которой перемещается в среде поверхность, представляющая собой геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе. В этом можно убедиться на основании следующих рассуждений. В выражении (1) r есть отрезок, отложенный в направлении распространения плоских волн и определяющий положение данной поверхности одинаковых фаз. Требование постоянства фаз во времени сводится к требованию, чтобы аргумент косинуса в выражении (1) был постоянен, т. е. чтобы

или, так как круговая частота ω есть величина постоянная, то — к требованию, чтобы имело место условие:

т.е r = const` + Vt.

Это выражение, описывающее распространение множества точек (поверхности) равных фаз.

Релей впервые показал, что наряду с фазовой скоростью волн имеет смысл ввести понятие о другой скорости, называемой групповой скоростью. Групповая скорость относится к случаю распространения волн сложного не косинусоидального характера в среде, где фазовая скорость распространения косинусоидальных волн зависит от их частоты.

Зависимость фазовой скорости волн от их частоты называется дисперсией волн.

Представим себе на поверхности воды волну в виде единичного горба,

распространяющегося в определенном направлении. Согласно теореме Фурье такое сложное колебание может быть разложено на группу чисто гармонических колебаний. Если все гармонические колебания распространяются по поверхности воды с одинаковыми скоростями, то с той же скоростью будет распространяться и образуемое ими сложное колебание.

Но если скорости отдельных косинусоидальных волн различны, то непрерывно меняются разности фаз между ними, и горб, возникающий в результате их сложения, непрерывно меняет свою форму и перемещается со скоростью, не совпадающей с фазовой скоростью ни одной из слагаемых волн.

Всякая реальная волна отлична от идеальной косинусоиды хотя бы потому, что идеальная косинусоида не ограничена во времени. Всякий отрезок косинусоиды может быть по теореме Фурье разложен на бесчисленное множество неограниченных во времени идеальных косинусоид. Таким образом, всякая реальная волна представляет собою наложение — группу бесконечных косинусоид, и скорость ее распространения в диспергирующей среде отлична от фазовой скорости слагаемых волн. Эта скорость распространения реальных волн в диспергирующей среде и носит название групповой скорости. Только в среде, лишенной дисперсии, реальная волна распространяется со скоростью, совпадающей с фазовой скоростью тех косинусоидальных волн, сложением которых она образована.

Составим аналитическое выражение для групповой скорости. Для простоты предположим, что группа волн состоит всего из двух волн, мало различающихся друг от друга по длине: 1) волны с длиной волны λ, распространяющейся со скоростью V; 2) волны с длиной волны λ' = λ +dλ, распространяющейся со скоростью

Относительное расположение обеих волн для некоторого момента времени представлено на рис.а).

Горбы обеих волн сходятся в точке А; в этом месте расположен максимум результирующих колебаний. Пусть V' > V, тогда вторая волна обгоняет первую. Через некоторый промежуток времени τ она обгонит ее на отрезок, равный d λ, в результате чего горбы обеих волн будут уже сходиться не в точке А, а в точке В (рис.б). Место максимума результирующего сложного колебания окажется смещенным относительно первой волны назад на отрезок, равный λ. Отсюда скорость распространения максимума результирующих колебаний относительно среды окажется меньше скорости распространения первой волны на величину λ/τ. Эта скорость распространения максимума сложного колебания и есть групповая скорость; обозначая ее через U, имеем

Так как скорость второй волны относительно первой равна V' - V, то

подставляя сюда вместо V' его значение из (2), получим

Подставив это выражение для τ в (3), найдем для групповой скорости

Из формулы (4) видно, что групповая скорость U тем больше отличается от фазовой скорости V, чем больше dV/dλ т. е. чем сильнее выражена зависимость скорости распространения волн от их длины. При dV/dλ > 0 групповая скорость U<V, а при dV/dλ < 0 имеем U>V. Групповая скорость меньше фазовой, когда dV/dλ > 0, т. е. когда более длинные волны распространяются скорее более коротких; этот случай носит название нормальной дисперсии.

Для среды, лишенной дисперсии, dV/dλ = 0 и U = V, т. е., в согласии со сказанным выше, групповая и фазовая скорости совпадают.

Дата добавления: 2015-11-26