Производная сложной функции.

До сих пор при нахождении производной предполагалось, что производная находится для функции у=f(х), где аргумент х—простая независимая переменная. Однако, в свою очередь, x может быть какой-то функцией, т.е. х = φ(t). Требуется найти производную такой сложной «двухэтажной» функции у=f[φ(t)] по аргументу t.

Докажем следующее правило для нахождения производной сложной функции у = f[φ(t)]:

у'_t=f'′_x ∙ φ'_t

Доказательство.

По определению нахождения производной:

У_t' = lim f[φ(t+ ∆ t)] — f[φ(t)]

Δt→0 ∆ t

Умножим и разделим числитель и знаменатель на выражение φ(t+∆t) — φ(t) и перегруппируем сомножители числителя и знаменателя:

У_t' = lim f[φ(t+ ∆ t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0 ∆ tφ(t+∆t) — φ(t)

= lim f[φ(t+ ∆ t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0 φ(t+∆t) — φ(t) ∆ t

= f'′_x ∙ φ'_t

Теорема доказана.

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от х через промежуточную элементарную функцию φ. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных каждая из которых элементарная функция. Однако правило дифференцирования остается таким же.

Пусть, например, у = f(х), где х=φ(u),u=ψ(v), v=λ(t). Тогда

У'_t= f'′_х (х) φ'_U(u) ψ'_V(v) λ'_t(t).

Таблица производных

Элементарных функций.

Пользоваться определением производной функции для нахождения производной есть процедура, которая требует большого количества времени. Поэтому производные всех элементарных функции были найдены и сведены в таблицу. Таблица производных элементарных функций есть в любом учебнике по высшей математике, поэтому в данном пособии она приведена в качестве иллюстрации в небольшом объеме.

Функция f(х)	Производная f'′(х)
f(х)=С С=const
f(х)=х^n	nx^n^—1
f(х)=e^х	е^х
f(х)=a^х	a^х lna
f(х)=ln х	1/x
f(х)=sin x	cos x
f(х)=cos x	- sin x
f(х)=tg x	1/cos^2x
f(х)=ctg x	-1/sin^2 x
f(х)=arcsin x	1/
f(х)=arccos x	- 1/
f(х)=arctg x	1/(1+x^2^)
f(х)=arcctg x	-1/(1+x^2)

На практике приходится дифференцировать алгебраические комбинации элементарных математических функций. Рассмотрим правила дифференцирования для двух простых функций U(х) и V(х):

(U+V)' = U'+V',

(UV)' = U'V+UV',

Дата добавления: 2015-11-26