Основная задача и общие теоремы теории конформных отображений

В настоящем параграфе приведем без доказательства ряд теорем, которые имеют большое значение при решении задач на конформные отображения.

Основной задачей теории конформных отображений является следующая задача.

Даны две области и комплексной плоскости; требуется найти функцию осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую. Эта задача не всегда имеет решение. Например, невозможно взаимно-однозначное конформное отображение; многосвязной области на односвязную.

Таким образом, возникают вопросы об условиях существования и однозначного определения функции, конформно отображающей область на область .

Б.Риманом в 1851 году была доказана следующая теорема, которую называют основной теоремой теории конформных отображений.

Теорема 3. Пусть и – две произвольные односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки. Тогда существует и только одно конформное отображение области на область такое, что

, , (*)

где , , – заданное действительное число (см. рисунок 13).

Рисунок 13

Условия (*) называются условиями нормировки конформного отображения. Вместо (*) можно задать другие условия. Например, можно задать

, ,

где , – внутренние, , – граничные точки областей и соответственно, или

, ,

где , , – различные граничные точки области , , , – различные граничные точки области , причем точки , , и , , следуют в порядке положительного обхода границ и областей и соответственно.

Теорема Римана устанавливает факт существования функции, конформно отображающей область на область , но не дает удобного способа построения ее. Кроме того, эта функция выражается через элементарные функции лишь для простых областей. Поэтому изучение частных случаев отображений с помощью комбинаций элементарных функций имеет большое практическое значение.

Приведем без доказательства теорему о соответствии границ.

Теорема 4. Пусть и – односвязные области, причем их границы и – простые замкнутые кусочно-гладкие кривые.

Если функция конформно отображает область на область , то

1) функцию можно непрерывно продолжить на замыкание области , т.е. можно доопределить на так, что получится непрерывная в функция;

2) эта функция отображает однозначно кривую на кривую с сохранением ориентации.

Для практики важен следующий в известном смысле обратный теореме 4. принцип соответствия границ.

Теорема 5. Пусть в односвязной области , ограниченной контуром , задана однозначная аналитическая функция , непрерывная в и осуществляющая взаимно однозначное отображение контура на некоторый контур плоскости . Тогда, если при заданном отображении контуров сохраняется направление обхода, то функция осуществляет конформное отображение области на внутреннюю область , ограниченную контуром .

Из принципа соответствия границ следует, что для того, чтобы определить область , на которую аналитическая функция конформно отображает данную область , достаточно найти контур, на который эта функция отображает границу области и установить направление обхода этого контура.

Пример 1. Найти область , на которую функция конформно отображает область , ограниченную контуром :

.

Решение: пусть , .

Тогда . Отсюда , , т.е. , .

Контур отображается в контур .

или

,

т.е. окружность радиуса 10 с центром в точке .

Легко убедиться, задав контуры параметрическими уравнениями, что положительное направление обхода контура соответствует положительному направлению обхода контура .

Тогда на основании принципа соответствия границ, заключаем, что функция осуществляет конформное отображение внутренности рассматриваемой окружности на внутренность окружности

.

Пример 2. Найти функцию, которая отображает конформно угол плоскости на угол плоскости (рисунок 12).

Решение: поставленную задачу решает комплексная функция , так как она произвольный луч , отображает на луч , . при изменении от 0 до луч описывает открытый угол , а его образ луч описывает открытый угол – верхнюю полуплоскость. Указанное отображение будет однолистным в , аналитичным и , если (точка ).

Рисунок 12

Дата добавления: 2015-12-08