Означення плазми. Квазінейтральність

Розділ 2

ОЗНАЧЕННЯ, КЛАСИФІКАЦІЯ ТА МЕТОДИ ОПИСУ ПЛАЗМИ

У цьому розділі розглядаються означення плазми, класифікація її різновидів, основні характеристики та методи опису.

Означення плазми. Квазінейтральність

Відмінність між змістом понять «іонізований газ» та «плазма» пов’язане з властивістю квазінейтральності, яка є основною характеристикою плазми. Ця властивість та характерні часовий та просторовий масштаби, що її характризують, розглядаються в даному підрозділі.

2.1.1. Означення плазми

Плазмою (точніше, газовою плазмою) називають суміш електронів, іонів та нейтральних частинок (атомів і молекул), яка є в цілому квазінейтральною. Поняття квазінейтральності означає електронейтральність у середньому за достатньо великі проміжки часу і на достатньо великих просторових масштабах.

Поняття плазми як квазінейтральної суміші протилежно заряджених частинок застосовується також до електролітів, у фізиці твердого тіла (електронно-діркова плазма напівпровідників, електронна плазма в металах), у фізиці елементарних частинок та космології (кварк-глюонна плазма[1]). Однак у цьому курсі йтиметься, як правило, про газову плазму.

Для того, щоб визначення плазми набуло конкретності, треба кількісно визначити згадані в її означенні часові та просторові масштаби.

2.1.2. Ленгмюрівська частота

Для знаходження часових масштабів можливого розділення зарядів слід розв’язати задачу про власні коливання плазми. Для цього розглянемо найпростішу модель необмеженої плазми, в якій іони нерухомі, їхній просторовий заряд скомпенсований електронами, теплового руху електронів немає.

Візьмемо плоский шар плазми товщиною l і всі електронів, які в ньому знаходяться, зсунемо на деяку віддаль D х (D х<l) у напрямку, перпендикулярному до площини шару (рис. 2.1). В результаті електронейтральність плазми порушиться. Внаслідок розділення зарядів виникне електричне поле, під дією якого зсунуті електрони повернуться на своє місце. Але, оскільки електрони мають ненульову масу, вони проскочать положення рівноваги і за інерцією рухатимуться далі, поки не відхиляться від положення рівноваги в інший бік. Знову виникне електричне поле, яке намагатиметься повернути електрони в положення рівноваги, вони знову проскочать це положення, і відтвориться початковий стан. Потім процес періодично повторюватиметься. Такі коливання прийнято називати електронними плазмовими, або ленгмюрівськими. Можна сказати, що період ленгмюрівських коливань і буде визначати часовий масштаб можливого порушення електронейтральності. Очевидно, плазма може вважатися квазінейтральною лише проміжках часу, значно більших за період цих коливань.

Для оцінки періоду таких коливань виконаємо простий розрахунок на основі описаної вище моделі. Густина нескомпенсованого заряду (електронів або іонів) на одиницю площі

Рис. 2.1. До пояснення коливань електронів у плазмі.

шару буде, очевидно, s=en₀D х. Створена цим зарядом напруженість поля (аналог поля в плоскому конденсаторі) дорівнює E=4ps=4pn₀eD х. Тоді рівняння руху електронів у зсунутому шарі набуде вигляду

, (2.1)

або

,

де

(2.2)

– електронна плазмова, або ленгмюрівська[2] частота. Обернена до неї величина T=2p/w_p і визначає максимальний часовий масштаб порушення електронейтральності.

Формулу (2.2) можна переписати у формі

. (2.3)

Тоді, наприклад, для концентрації 10¹¹ см^–3 (таку концентрацію можна вважати типовою для лабораторних експериментів) ленгмюрівська частота складе приблизно 3 ГГц, а відповідний період – 300 нс. Отже, лабораторну плазму з указаною концентрацією можна вважати квазінейтральною на проміжках часу від кількох мікросекунд і більше.

2.1.3. Дебаївський радіус екранування

Проаналізуємо тепер можливі порушення квазінейтральності в просторі.

Розглянемо пробний заряд q, занурений у плазму. Для визначеності вважатимемо його позитивним.

Якби електрони плазми не мали кінетичної енергії (що відповідає так званій моделі холодної плазми), вони впритул наблизилися б до пробного заряду ("обліпили" б його) й повністю екранували його кулонівське поле.

Оскільки в реальності електрони плазми мають ненульову кінетичну енергію (температуру), вони не опустяться на дно потенціальної ями, створеної пробним зарядом, а будуть рухатися в ній. В результаті в околі пробного заряду утвориться підвищена концентрація електронів, які будуть екранувати поле цього заряду, але тільки на помітних віддалях (рис. 2.2). Характерна віддаль, на якій поле малого пробного заряду буде екрануватися, називається дебаївським радіусом екранування, або просто дебаївським радіусом. Легко зрозуміти, що саме дебаївський радіус визначає просторовий масштаб можливого порушення електронейтральності в плазмі.

Рис. 2.2. Екранування пробного заряду в холодній (а) та теплій (б) плазмі.

Для кількісного розрахунку дебаївського радіусу необхідно побудувати розв’язок рівняння Пуассона

, (2.4)

що описує електростатичне поле навколо пробного заряду.

Знову вважаємо іони нерухомими, а тепловий рух електронів цього разу врахуємо. Тоді густина електронів відповідно до закону Больцмана має визначатися розподілом потенціалу:

. (2.5)

Підставимо (2.5) до рівняння Пуассона (2.4) і розкладемо експоненту в ряд Тейлора, вважаючи, що теплова (кінетична) енергія електронів значно перевищує їхню потенціальну енергію[3], так що

. (2.6)

Маємо:

, (2.7)

або

, (2.8)

де використано позначення

.. (2.9)

З урахуванням сферичної симетрії задачі лапласіан у сферичних координатах набуває вигляду

(2.10)

Нас цікавить розв’язок (2.8), що в околі нуля поводить себе як q/r (на малих віддалях поле пробного заряду не зазнає екранування). Будемо підставляти до (2.8) з урахуванням (2.10) розв’язок у формі j(r)=f(r)/r. Тоді

, , (2.11)

і рівняння (2.8) набуває вигляду

, (2.12)

а його розв’язок записується в експоненціальній формі:

. (2.13)

При r®¥ потенціал пробного заряду має прямувати до нуля, тому слід покласти С₂=0. Отже,

. (2.14)

При r<<r_D, як уже вказувалося, побудований розв’язок повинен відповідати кулонівському полю пробного заряду, тому С₁=q.

Остаточно маємо:

(2.15)

(рис. 2.3).

Величина r_D, визначена співвідношенням (2.9), і визначає дебаївський радіус екранування. Можна записати, що

Рис. 2.3: 1 – кулонівський потенціал; 2 – потенціал екранування в плазмі.

, (2.16)

де

(2.17)

– середня теплова швидкість електронів (точніше, середній модуль повної швидкості).

Формулу для дебаївського радіусу можна також переписати у формі

. (2.18)

Для концентрації 10¹¹ см^–3, яку ми вже використовували для оцінки ленгмюрівської частоти, та температури 1 еВ[4], яку теж можна вважати типовою для лабораторної плазми, можна отримати r_D порядку 25 мкм.

Тепер можна уточнити визначення плазми: плазма – це суміш електронів, іонів та нейтральних частинок, яка існує протягом часу, більшого від періоду ленгмюрівських коливань, і має характерні розміри, більші від дебаївського радіусу.

2.1.4. Мікрополя в плазмі

На просторових масштабах, менших від дебаївського радіусу, або на часових масштабах, менших від періоду ленгмюрівських коливань, електронейтральність плазми може порушуватися за рахунок теплового руху електронів. Це приводить до виникнення так званих мікрополів. Для оцінки величини цих мікрополів виконаємо модельний розрахунок.

Нехай у деякому шарі завширшки Dz усі електрони змістилися на одну межу, а всі іони – на іншу (рис. 2.4). Тоді у проміжку виникне поле, аналогічне до поля в плоскому конденсаторі:

. (2.19)

Рис. 2.4. До оцінки величини мікрополів у плазмі.

Різниця потенціалів на кінцях проміжку Dz складе величину

. (2.20)

Щоб пролетіти цю різницю потенціалів, електрон повинен мати енергію

. (2.21)

Віддаль Dz, яка визначає величину мікрополів у плазмі, може бути визначена з умови, що W=k_BT. Тоді

. (2.22)

Відповідно, максимальну величину мікрополів у плазмі можна оцінити як

. (2.23)

Іншими словами, сила, що діє на електрони плазми за рахунок мікрополів, є величина порядку сили, що обумовлює ленгмюрівські коливання з амплітудою порядку дебаївського радіусу.

Оцінка (2.24) залишається в силі за порядком величини незалежно від геометрії конкретної моделі.

Для параметрів плазми, що вже використовувалися вище, з (2.23) отримаємо: Е_max»5 В/см.

Контрольні питання до підрозділу 2.1

1. Що виступає причиною порушення електронейтральності плазми на малих просторових масштабах?

2. Який механізм підтримання електронейтральності плазми для великих просторово-часових масштабів?

3. Які припущення використовуються при виведенні формули для екранування поля пробного заряду в плазмі?

4. Чи є коректною формула для потенціалу екранування, отримана шляхом лінеаризації початкових рівнянь, для опису екранування точкового заряду?

5. Як залежить максимальна величина мікрополя в плазмі від її температури? Дайте якісне пояснення.

Задачі до підрозділу 2.1

1. Розрахуйте коефіцієнт зв’язку між f_p [Гц] та (n [см^-3])^1/2 з точністю до трьох значущих цифр.

2. Як зміниться вираз для дебаївського радіусу, якщо врахувати тепловий рух іонів?

3. Скільки пар електронів та іонів має бути в кімнаті, щоб повітря в ній можна було вважати плазмою?

4*. Користуючись числовими методами, розв’яжіть систему диференціальних рівнянь, що описує екранування пробного заряду, точно. Порівняйте отриманий результат з тим, що виходить в результаті лінеаризації вихідних рівнянь.

Дата добавления: 2015-12-08