Читайте также:
|
| 10-я система счисления | 2-я система счисления | 8-я система счисления | 16-я система счисления |
| А B C D E F |
Билет№9.
Общий принцип 1: чтобы перевести число в некоторую систему счисления с основанием M (цифрами 0,..., M-1), иначе говоря, в M-ичную СС, нужно представить его в виде:
C = an * Mn + an-1 * Mn-1 +... + a1 * M + a0.
a1..n - цифры числа, из соответствующего диапазона. an - первая цифра, a0 - последняя.
Сравните эту запись с представлением числа, например, в десятичной системе.
Из системы с большим основанием - в систему с меньшим
Очевидно, чтобы найти такое представление, можно
1. разделить число нацело на M, остаток - a0.
2. взять частное и проделать с ним шаг 1, остаток будет a1...
И так, пока частное не равно 0.
Искомое число будет записано в новой системе счисления полученными цифрами.
Общий принцип 2: Если основание одной системы - степень другого, например, 2 и 16, то перевод можно делать на основании таблицы:
2 -> 16: собираем с конца числа четверки (16 = 2 4) чисел, каждая четверка - одна из цифр в 16-ричной с-ме. Пример ниже.
16 -> 2 - наоборот. Создаем четверки по таблице.
Из меньшего основания - к большему:
Просто вычисляем C = an * Mn + an-1 * Mn-1 +... + a1 * M + a0, где М - старое основание. Вычисления, естественно, идут по в новой системе счисления.
Например: из 2 - в 10: 100101 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21+1=32+4+1=37.
Вообще говоря, можно сделать много хитрых трюков - в примерах реализаций они есть:)
Много вопросов задается относительно дробей и отрицательных чисел.
Отpицательные - модуль числа не меняется при переходе к другой СС, посему: запомнить знак, пpименить стандаpтный метод - поставить знак. Дальше буду говорить уже о положительных числах
Десятичные дроби - пеpеношу запятую, запоминая, на какую степень основания умножил.
Например, перенос в троичном числе запятой с 4-го места от конца - то же, что и умножить его на 34
121201,2112 * 34 = 1212012112.
После стандаpтной пpоцедуpы с положительными числами поделить на этот множитель получившуюся дробь. Получится периобическая дробь - значит судьба Ваша такая. Помните: в 3-чной системе 1/3 = 0.1, а в десятичной - 0,(3). Неблагодарное это дело - с десятичными дробями оперировать.
Обыкновенные - пpавильность дpоби сохpаняется относительно пpеобpазований, значит то же - стандаpт по числителю и знаменателю.
Несколько примеров из Фидо.
Перевод десятичная -> двоичная:
Десятичное число D
1. Делим D на 2. Остаток - B0.
2. Частное снова делим на 2. Остаток - B1.
3. Повтоpяем, пока не полyчим 1/2=0 с остатком 1. Этот
последний остаток и есть стаpшая единица.
Пpимеp: D=154.
154/2=77, остаток=B0=0<
77/2=38, остаток=B1=1
38/2=19, остаток=B2=0
19/2=9, остаток=B3=1
9/2=4, остаток=B4=1
4/2=2, остаток=B5=0
2/2=1, остаток=B6=0
1/2=0, остаток=B7=1.
Итак, 154=10011010.
Перевод 2-ная -> 16-ная.
Пеpевод из двоичной системы исчисления в 16-тиричную осуществляется по таблице для каждых 4-х двоичных единиц
0000=0 0001=1 0010=2 0011=3
0100=4 0101=5 0110=6 0111=7
1000=8 1001=9 1010=A 1011=B
1100=C 1101=D 1110=E 1111=F
Например:
число 111010110 = 0001'1101'0110 = 1D6
Билет№10
Формы представления чисел в ЭВМ
Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. В вычислительных машинах применяются две формы представления чисел:
естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);
нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой);
Пример:
(естественная форма) 452,34 = 452340*10-3 = 0,0045234*105 = 0,45234*103(нормальная форма)
Всякое десятичное число, прежде чем оно попадает в память компьютера, преобразуется по схеме:
X10 → X2 = M1 × [102]r
После этого осуществляется ещё одна важная процедура:
мантисса с её знаком заменяется кодом мантиссы с её знаком;
порядок числа с его знаком заменяется кодом порядка с его знаком.
Указанные коды двоичных чисел - это образы чисел, которые и воспринимают вычислительные устройства. Каждому двоичному числу можно поставить в соответствие несколько видов кодов.
Существуют следующие коды двоичных чисел:
Прямой код;
Обратный код;
Дополнительный код.
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.
В форме с фиксированной запятой в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд хранит признак знака (0 – "+", 1 – "-") и для записи числа не используется.
Сама запятая никак не изображается, но ее место строго фиксировано и учитывается при выполнении всех операций с числами. Независимо от положения запятой в машину можно вводить любые числа, т.к.
A = [A] · KА,
где А – произвольное число, [A] – машинное изображение числа в разрядной сетке, KА - масштабный коэффициент.
Естественная форма числа в неявном, условном виде реализуется формулой:
т.е. число записывается только с помощью набора значащих цифр xj без явного указания их весов и знаков сложения между ними. Отсчет ведется от точки, которая обычно фиксируется между целой и дробной частями числа.
С фиксированной запятой числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной(например, 32,54; 0,0036; –108,2). Форма представления чисел с фиксированной запятой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает время выполнения машинных операций, однако при решении задач на машине необходимо постоянно следить за тем, чтобы все исходные данные, промежуточные и окончательные результаты находились в допустимом диапазоне представления. Если этого не соблюдать, то возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. От этих недостатков в значительной степени свободны ЭВМ, использующие форму представления чисел с плавающей точкой, или нормальную форму. В современных компьютерах форма представления чисел с фиксированной запятой используется только для целых чисел.
Нормальная форма
С плавающей запятой (ПЛЗ) числа изображаются в виде:
X = ± M×P ±r,
где M - мантисса числа (правильная дробь в пределах 0,1 ≤ M < 1), r - порядок числа (целое), P - основание системы счисления. Например, приведенные выше числа с фиксированной запятой можно преобразовать в числа с плавающей запятой так: 0,3254×102, 0,36×10-2, –0,1082×103.
Нормализованная экспоненциальная запись числа - это запись вида a= m*Pq, где q - целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m - P-ичная дробь, у которой целая часть состоит из одной цифры. При этом m - мантиссa числа, q - порядк числа.
Tо есть нормальная форма реализуется формулой:
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон чисел и является основной в современных ЭВМ.
При представлении чисел с плавающей запятой часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды - для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы. Для того, чтобы не хранить знак порядка, используется так называемый смещённый порядок, который рассчитывается по формуле 2(a-1) + ИП, где a - количество разрядов, отводимых под порядок, ИП - истинный порядок.
В конкретной ЭВМ диапазон представления чисел с плавающей запятой зависит от основания системы и числа разрядов для представления порядка. При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей запятой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел. Точность вычислений при использовании формата с плавающей запятой определяется числом разрядов мантиссы. Она увеличивается с увеличением числа разрядов.
Алгоритм представления числа с плавающей запятой:
перевести число из p-ичной системы счисления в двоичную;
представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме;
рассчитать смещённый порядок числа;
разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.
При представлении информации в виде десятичных многоразрядных чисел каждая десятичная цифра заменяется двоично-десятичным кодом. Для ускорения обмена информацией, экономии памяти и удобства операций над десятичными числами предусматриваются специальные форматы их представления: зонный (распакованный) и упакованный. Зонный формат используется в операциях ввода-операций. Для этого в ЭВМ имеются специальные команды упаковки и распаковки десятичных чисел.
Прямой код
Представление числа в привычной форме "знак"-"величина", при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа. Например, прямой код двоичных чисел 1001 и -1001 для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответственно.
Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Вообще, положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
Например,
Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления используется так называемый дополнительный код.
Прямой код двоичного числа(а это либо мантисса, либо порядок) образуется по такому алгоритму:
Определить данное двоичное число - оно либо целое (порядок), либо правильная дробь (мантисса).
Если это дробь, то цифры после запятой можно рассматривать как целое число.
Если это целое и положительное двоичное число, то вместе с добавлением 0 в старший разряд число превращается в код. Для отрицательного двоичного числа перед ним ставится единица.
Например,
Обратный код
Обратный код положительного двоичного числа совпадает с прямым кодом.Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Например,
Дополнительный код
Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа. Дополнительный код отрицательного числа m равен 2k - |m|, где k - количество разрядов в ячейке.Также дополнительный код отрицательного числа образуется путём прибавления 1 к обратному коду.
При представлении целых чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа, и под собственно число остаётся на один разряд меньше.
Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа:
модуль отрицательного числа представить прямым кодом в k двоичных разрядах;
значение всех бит инвертировать:все нули заменить на единицы, а единицы на нули(таким образом, #получается k-разрядный обратный код исходного числа);
к полученному обратному коду прибавить единицу.
Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций. Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и разного знака, сводится к из поразрядному сложению.
Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, то есть ячейка памяти будет состоять из восьми, шестнадцати или тридцати двух разрядов соответственно.
Билет 11
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 136 | Нарушение авторских прав