Использование разложения на простые дроби

Известно N полюсов изображения F(z). Тогда можно представить F(z) в виде суммы простых дробей

(3.22)

где β_k и α_k — коэффициенты разложения при k-м полюсе. Если полюс вещественный, то и коэффициенты разложения вещественны, если полюс комплексный — коэффициенты комплексные.

По свойству линейности оригинал f(n) изображения F(z) определяется по Формуле:

Окончательно, используя таблицу соответствий, получим

(3.23)

Таким образом, если z-изображение имеет вид (3.22) или может быть приведено к такому виду, то оригинал для него определяется соотношением (3.23) Это и есть суть метода нахождения оригинала при помощи разложения на простые дроби.

Пример 3.11.

Определить оригинал х(п), если известно изображение

Решение.

Разложим z-изображение на сумму простых дробей. Для этого представим знаменатель в виде сомножителей первой степени:

Тогда заданное z-изображение последовательности x(n) можно записать в виде

При этом имеем два полюса:

Проведем разложение изображения на простые дроби и представим его в виде суммы:

где β₁ и β₂ — коэффициенты разложения.

Коэффициенты разложения β₁и β₂ получим из условия равенства дробей:

В правой части последнего равенства приведем сумму двух простых дробей к общему знаменателю:

Следовательно:

Дроби равны, если равны их числители и знаменатели. В нашем случае равенство знаменателей очевидно. Приравняв числители, получим систему уравнений для определения коэффициентов разложения β₁ и β_2:

Таким образом, z-изображение примет вид

Ему соответствует оригинал:

Описание линейных дискретных систем во временной области

Системой обработки сигналов (коротко системой) называют объект, выпол­няющий требуемое преобразование (обработку) входного сигнала в выход­ной. По умолчанию будем подразумевать системы с одним входом и одним выходом. Входной сигнал называют воздействием, а выходной — реакцией.

В общем случае взаимосвязь между входным и выходным сигналами - со­отношение вход-выход системы - математически описывается уравнением в операторной форме

(4.1 а)

где X, Y – множества воздействия и реакции; в общем случае для систем с несколькими входами и выходами X, Y – векторы, элементами которых являются функции времени, F - оператор, определяющий характер математических операций при ото­бражении множества X в множество Y. В частном случае, для систем с одним входом и одним выходом, уравнение (4.1 а) принимает вид

(4.1б)

где х,у - воздействие и реакция — функции времени.

Систему называют лилейной, если она обладает следующими свойствами:

- аддитивности, в соответствии с которым реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий (принцип суперпозиции), а именно:

если

(4.2)

- однородности, согласно которому умножение воздействия на весовой ко­эффициент соответствует реакции, умноженной на тот же коэффициент

F{αx}=αF{x}(4.3)

Соотношение вход-выход линейной системы описывается уравнением (4.1 а) с линейным оператором F.

Это означает, что в правой части уравнения (4.1 а) возможны только линейные алгебраические операции сложения, вычитания и умножения на весовой коэффициент, следовательно, соотношение вход-выход линейной системы описывается линейным уравнением. Систему называют стационарной, если она обладает свойством инвариант­ности во времени, в соответствии с которым задержка воздействия на неко­торое время приводит к задержке реакции на то же время. Параметры стационарной системы неизменны во времени. По умолчанию будем подра­зумевать стационарные системы.

Замечание

Аналоговые линейные системы имеют дополнительную задержку реакции от­носительно воздействия на t_зап.

Линейная система называется дискретной, если воздействие и реакция пред­ставляют собой дискретные сигналы последовательности отсчетов х(пТ) и у(пТ) (см. рис. 4.1), которые могут быть как вещественными, так и комплексными.

Рис. 4.1. Общая схема обработки сигналов линейной дискретной системой

В данной лекции рассматривается описание линейной дискретной системы во временной области.

Дата добавления: 2015-12-08