|
Вектори
Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. Під направленим відрізком розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем. В геометрії розглядають вектори, що не залежать від точки прикладання (вільні вектори).
Графічно вектори зображають у вигляді направлених відрізків певної довжини АВ
Чисельне значення вектора а називається модулем чи довжиною і позначається | а|.
Довжина вектора - це довжина відрізка, що зображає цей вектор.
Вектори називають протилежно напрямленими, якщо протилежно напрямлені відповідні півпрямі.
Протилежно напрямлені вектори.
Вектори називають співнапрямленими, якщо співнапрямлені відповідні півпрямі.
Співнапрямлені вектори.
Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим. Нульовий вектор має довжину 0. Напрям нульового вектора не визначений. Нульовий вектор прийнято рахувати співнапрямленим з будь-яким вектором. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний будь-якому вектору.
Колінеарними називаються вектори, які зображаються відрізками, що лежать на одній прямій чи на паралельних прямих.
Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються.
Одиничний вектор (орт) - вектор, довжина якого рівна одиниці.
Вектори на площині
Числа
та
називаються координатами вектора з початком А(х1;у1) і кінцем В(х2;у2).
Використовуючи означення координат вектора довжину можна записати формулою
Дії над векторами на площині
Сумою векторів і називають вектор
Геометрично суму двох векторів можна знайти за:
• правилом трикутника;
• правилом паралелограма.
Правило трикутника
Для складання двох векторів а і b за правилом трикутника обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора.
Правило паралелограма
Для складання двох векторів а і b за правилом паралелограма обидва ці вектора переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, яка виходить з їх спільного початку.
Різницею векторів a і b називають такий вектор c, який в сумі з b дає a.
Добуток вектора на число називається вектор
Два вектори a і b колінеарні тоді і лише тоді, коли їх відповідні координати пропорційні
Скалярним добутком векторів a і b називається число, яке рівне сумі добутків відповідних координат, тобто
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
де - кут між векторами.
Векторним добутком двох векторів a і b називається вектор c, який задовольняє таким умовам:
1) Довжина вектора c дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, тобто
2) Вектор c перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора a, і до вектора b:
та
3) Вектори a, b, c, взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів.
Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.
Напрямок повороту
Для того щоб поняття повороту було однозначно визначеним, необхідно домовитися, відносно якої точки цей поворот виконуватиметься. За точку відліку візьмемо початок координат (0; 0) на площині (мал. 138).
Почнемо подальші міркування з такої домовленості. Уявімо собі, що ми дивимося у точки (х1; у1) і (х2; у2) з початку координат (0; 0). Для того щоб перевести погляд з точки (х1; у1) на точку (х2; у2), зображених на малюнку 138, а, необхідно повернутися проти годинникової стрілки, a на малюнку 138, б - за годинниковою стрілкою. Як дізнатися про те, куди необхідно повертатися при переході від точки (х1; у2) до точки (х2; у2), знаючи при цьому лише їхні координати на площині, ми зараз і з’ясуємо.
Розглянемо два прямокутники, що утворюються такими вершинами: (0; 0), (0; у1), (х1; y1), (х1; 0) та (0; 0), (0; у2), (х2; у2), (х2; 0) (мал. 139, а). Порівняємо їхні площі. Ці прямокутники мають спільну частину (0; 0), (0; у1), (х2; у1), (х2; 0). Тому їхні площі відрізняються лише площами прямокутників (0; у1), (0; у2), (х2; у2), (х2; у1) та (х2; 0), (х2; у1), (х1; у1), (х1;0). Як видно навіть з малюнка 139, а, площа першого зазначеного прямокутника більша за площу другого. З малюнка 139, б, де точки (х1; у1) і (х2; у2) поміняно місцями, можна зробити висновок, що ситуація з площами відповідних прямокутників так само змінилася на протилежну.
Як довести, що наведене вище припущення вірне? Для цього проведемо такий додатковий аналіз. Розглянемо точки (х1; у1) і (х2; у2), що лежать на прямій, яка проходить через точку (0; 0) (мал. 140, а). Прямокутник, що утворюється вершинами (0; 0), (0; у2), (х2; у2), (х2; 0), ділиться діагоналлю, яка проходить через точки (0; 0), (х2; у2), на два однакові прямокутні трикутники, що відповідно мають і однакову площу.
За такою самою ознакою площі верхніх двох трикутників і відповідних до них нижніх, зображених на малюнку 140, а темним кольором, також однакові. Значить, однакові також і суми їхніх площ, а саме сумарна площа двох верхніх прямокутних трикутників, зафарбованих темним кольором, і сумарна площа двох нижніх прямокутних трикутників того самого кольору. Отже, якщо від рівних площ трикутників, що утворюються вершинами (0; 0), (0; у2), (х2; у2) і (0; 0), (х2; у2), (х2; 0), відняти рівновеликі частини, то запишаться так само рівновеликі фігури. А такими фігурами є прямокутники, що утворюються вершинами (0; у1), (0; у2), (х1; у2), (х1; у1) і (х1, 0), (х1; у1), (х2; у1), (х2; 0).
Зрозуміло, що якщо до рівновеликих фігур додати одну і ту саму фігуру, то їх площа не зміниться. Таким чином, при додаванні до розглянутих вище прямокутників великого прямокутника, зображеного на малюнку 140, а темним кольором, ми не змінимо співвідношення між сумарними площами двох прямокутників, зафарбованих світлим кольором. Отже, площі прямокутників, визначених вершинами (0; 0), (0; у2), (х1; у2), (х1; 0) і (0,0), (0; у1), (х2; у1), (х2; 0), обчислюються відповідно за формулами: х1 • у2 та х2 • у1.
Для випадку розміщення точок (х1; у1) і (х2; у2), зображених на малюнку 140, б, наведене доведення також має місце.
Який висновок із усього сказаного вище можна зробити? А все попереднє пояснення зводилося до того, щоб констатувати факт: у разі, коли точки (х1; у1) і (х2; у2) знаходяться на одній прямій, що проведена з початку координат, то виконується умова х1у2 - х2у1 = 0. Тобто для того щоб з точки (х1; у1) побачити точку (х2; у2), ніякого повороту виконувати не треба.
А як буде змінюватися значення виразу х1у2 - х2у1 у разі, коли точки (х1; у1) і (х2; у2) не знаходитимуться на одній прямій, проведеній через початок координат? Розглянемо малюнок 141, а. На ньому зображена ситуація, коли точка (х2; у2) перемістилася вище від прямої, що проходить через точки (0; 0) і (х1; у1). При цьому значення координати х2 не змінилося, а значення координати у2 - збільшилося. Це означає, що відповідно і значення х2у1 не змінилося, а значення х1у2 - збільшилося. Тому знак виразу х1у2 - х2у1 змінився - він став додатним!
Чи справедливий зроблений висновок для всіх точок, що знаходяться вище від прямої, яка проходить через точки (0; 0) і (х1; у1)? Так, і це можна довести таким чином. Для будь-якої точки (х2; у2) півплощини, що знаходиться вище прямої, знайдеться точка (х2; у'2), що лежить на цій прямій (мал. 141, а) і для якої виконується умова х1у'2 - х2у1 = 0. Але оскільки за побудовою у2 > у'2, то й х1у2 - х2у1 > 0.
Отже, підіб’ємо перший підсумок: коли при переході від точки (х1; у1) до точки (х2; у2) виконується поворот проти годинникової стрілки, то має місце умова х1у2 - х2у1 > 0.
Тепер розглянемо випадок, коли точка (х2; у2) знаходиться нижче від прямої, утвореної точками (0; 0) і (х1; ух) (мал. 141, б). У цьому разі значення виразу х1у2 - х2у1 стає від’ємним, оскільки з малюнка 141, а видно, що значення координати у2 зменшилося, а решти координат не змінилося. Зазначимо, що для будь-якої точки (х2; у2), що знаходиться нижче від прямої, проведеної через точки (0; 0) і (х1; у1), знайдеться єдина точка (х2; у'2), що лежить на цій прямій (мал. 141, б) і для якої виконується умова х1у'2 - х2у1 = 0. Оскільки за побудовою у2 < у'2, то і х1у2-х2у1 < 0.
Другий висновок, який є результатом наведених міркувань: коли при переході від точки (х1; у1) до точки (х2; у2) виконується поворот за годинниковою стрілкою, то має місце умова х1у2 - х2у1 < 0.
Отриманий вираз х1у2 - х2у1 в математиці називається векторним добутком векторів р1 і р2, які мають початком одну і ту саму точку (0; 0), а кінцями відповідно точки (х1; у1) і (х2; у2).
Отже, знак векторного добутку векторів р1 і р2 так само, як і знак різниці площ відповідних прямокутників х1у2 і х2у1, визначає напрям повороту від точки (х1; у1) до точки (х2; у2).
А якщо дивитися у точки (х1; ух) і (х2; у2) не з початку координат (0; 0), а з будь-якої іншої довільної точки (мал. 142), то якою буде залежність? Визначимося з відповіддю на це запитання наступним чином.
Якщо перенести початок координат у точку (х0; у0), то задача зведеться до попередньої, тобто ми дивитимемося у задані точки з початку координат, а для цього випадку залежність уже визначена. Однак при такому перенесенні системи координат у точку (х0; у0) необхідно перерахувати і координати заданих точок, оскільки відстань до них по осі Ох зменшиться на значення х0, а по осі Оу - на у0. Таким чином, у випадку, коли ми визначаємо напрям повороту від точки (х1; у1) до точки (х2; у2), спостерігаючи за цією дією з точки (х0; у0), то необхідно аналізувати знак виразу (х1 - х0)(у2 - у0) - (х2 - х0)(у1 - у0).
У векторному представленні це виглядатиме так:
Ця дуже важлива закономірність лежить в основі більшості задач обчислювальної геометрії.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 169 | Нарушение авторских прав