Модель Вальраса

Модель Еванса

Маємо ринок одного товару. Час t вважатимемо неперервним.

Позначимо через d = d (t) = F[ p (t)], s = s (t) = y[ p (t)] інтегрований попит і пропозицію в момент t, а через p (t) — ціну товару в цей момент.

У моделі постулюється, що попит і пропозиція є лінійними функціями ціни:

F(p) = a – bp, a > 0, b > 0 (попит зі зростанням ціни спадає);

y(p) = a + b p, a > 0, b > 0 (пропозиція зі зростанням ціни зростає).

Окрім цього, слушно вважати, що a > a (за нульової ціни попит перевищує пропозицію).

Основна гіпотеза моделі полягає в тому, що зміна ціни пропорційна перевищенню попиту над пропозицією:

D p = g (d – s)D t, g > 0. (1)

Згідно з гіпотезою (1) взаємодія споживачів і виробників відбувається таким чином, що ціна, яка відображає цю взаємодію, неперервно пристосовується до ситуації на ринку: за перевищення попиту над пропозицією ціна зростає, у протилежному разі — спадає.

Використовуючи зроблені припущення, можна прийти до такого диференційного рівняння щодо ціни:

(2)

Це рівняння має стаціонарну (рівноважну) точку р ⁰ (коли ):

(3)

З виразу (2) видно, що за а за тому (у першому випадку ціна досягає рівноважного значення, зростаючи, а в другому — спадаючи, при цьому рівноважна ціна р ⁰ не залежить від початкової р ₀). Рівноважна ціна є абсцисою точки перетину прямих попиту і пропозиції, тобто за такої ціни попит дорівнює пропозиції.

Ці висновки отримані без розв’язку рівняння (2). Вони будуть такими самими, якщо прямо використати розв’язок цього рівняння:

Дискретний аналог моделі Еванса подано на рис. 1, де зображені прямі інтегрованого попиту і пропозиції і показано механізм виникнення послідовності p_n, що зростає від початкової ціни р ₀, за якої попит не дорівнює пропозиції. Час розподілено на інтервали D t, ціна в момент дорівнює:

.

Рис. 1. Дискретний аналог моделі Еванса

Модель Вальраса

До складу сучасної розвинутої економіки входять численні господарські одиниці та споживачі. Кожний із цих учасників ринку досконалої конкуренції має свої цілі, що уможливлює наявність конфліктних ситуацій. Та щоб економічна система функціонувала нормально, індивідуальні дії різних учасників повинні бути відносно добре узгодженими.

У моделі Вальраса, що включає скінченну кількість споживачів і виробників, таке вирішення (подолання) конфлікту досягається не втручанням держави, а опосередковано, через конкретний ринковий механізм, що ґрунтується на регулюючій дії системи цін. Якщо система цін визначена, то будь-яка ринкова угода незалежно від того, чи є ринок конкурентним, чи ні, здійснюється відповідно до цієї системи цін.

Якщо учасники не можуть впливати на ціни, то ринок називають конкурентним. На конкурентному ринку ціни для кожного з учасників є некерованими, і їм (учасникам) залишається лише пристосовуватися до існуючої системи цін.

Основна ідея Вальраса полягає у тому, щоб за певної системи цін індивідуальні плани (наміри) учасників стали спільними, тобто така система цін забезпечує розподіл ресурсів і продукції на основі розв’язання конфлікту між учасниками. Таку рівноважну ситуацію називають конкурентною рівновагою.

У моделі Вальраса розглядається економіка з l споживачами
(i = 1, …, l), m виробниками (k = 1, …, m) і n типами товарів
(j = 1, …, n). Через p = (p ₁,…, p_n) позначатимемо вектор-рядок цін, а через x = (x ₁, …, x_n)¢ — вектор-стовпчик товарів.

У даній моделі поняття «товар» трактується розширено. Під товаром маються на увазі і предмет (продукт праці), і засіб праці (капітальне обладнання, споруди тощо), і первинні ресурси (праця та природні ресурси).

Модель Вальраса можна розглядати як формалізацію річного циклу виробництва і розподілу товарів у результаті взаємодії суб’єктів економіки (споживачів і виробників), кожний із яких має свої цілі.

Кожен споживач володіє доходом K (p) і має своє поле переваг щодо товарів, яке може бути задане у вигляді індикатора переваг (функції корисності u (x)). Якщо позначити через множину допустимих наборів товарів, що є доступними споживачеві за цін p, X — область визначення u (x), то функція попиту споживача може бути задана таким чином:

(4)

тобто функція попиту — це така множина допустимих наборів товарів, кожний із яких (наборів) максимізує корисність споживача за заданого рівня цін p. Отже, кожний споживач характеризується функцією попиту Ф _i (p) і доходом K_i (p). Припускається, що дохід кожного споживача складається з двох частин: з доходу pb_i від продажу початкового запасу товарів b_i та доходу l_i (p) в результаті участі споживача у виробництві, тобто

Кожен виробник (фірма) формалізується своїми технологічними можливостями. Позначимо через вектор-стовпчик витрат—випуску k -го виробника: додатні компоненти цього вектора задають випуск фірми, від’ємні компоненти — витрати. Тому скалярний добуток py_k є прибутком фірми. Технологічні можливості фірми визначаються як множина всіх допустимих векторів витрат—випуску Y_k. Цю множину називають множиною виробничих можливостей.

Під функцією пропозиції фірми розуміють один чи кілька векторів витрат—випуску, котрі за заданих цін p максимізують прибуток:

(5)

Вважається, що Y_k для будь-якого k є замкнутою множиною і О Î Y_k, тобто фірма може не випускати продукцію та не робити витрат.

Вектор витрат—випуску для всієї економіки визначається як сума векторів витрат—випуску для всіх виробників:

(6)

За такої інтеграції проміжні продукти взаємно скорочуються, тому в подальшому аналізі не беруть участі.

У результаті у вектор у увійдуть з додатним знаком лише кінцеві продукти (кінцевий випуск), а з від’ємним знаком — первинні ресурси.

Вектор y набуває певних значень із загальноекономічної множини виробничих можливостей:

Основна функція економіки незалежно від того, чи вона є централізованою, а чи децентралізованою, полягає в розподілі сукупного (інтегрованого) виробництва між виробниками і в розподілі вироблених продуктів серед споживачів.

Розподіл виробництва здійснюється обранням вектора витрат—випуску y_k із технологічної множини виробничих можливостей Y_k для кожного виробника (k = 1, …, m), сума являє собою сукупний (інтегрований) виробничий процес.

Такі сукупні процеси утворюють сукупну технологічну множину Y (загальноекономічну множину виробничих можливостей).

Сума по всіх споживачах становить сукупну початкову власність.

У поняття початкової власності можуть входити не лише споживчі товари, а й проміжні продукти (предмети праці), капітальне обладнання (засоби праці), земля та інші природні ресурси, праця. Множина { b } + Y являє собою множину сукупної пропозиції.

Розподіл споживання здійснюється через вибір кожним споживачем меню споживання:

є вектором сукупного попиту, деякі з компонент якого можуть бути від’ємними, якщо вони є пропозицією (наприклад праця).

Під спільним розподілом виробництва і споживання мають на увазі такий набір векторів споживання і векторів витрат—випуску

для якого сукупний попит збігається із сукупною пропозицією, тобто

(7)

Набір задає конкурентну рівновагу в моделі Вальраса, якщо:

(8)

(9)

(10)

Тут p ^* називають вектором конкурентних цін.

Співвідношення (9), (10) іменують законом Вальраса у широкому розумінні, якщо ж у (9) має місце рівність, — це закон Вальраса у вузькому розумінні.

Таким чином, конкурентна рівновага являє собою сумісний розподіл виробництва та споживання, а сукупний попит у цьому разі не перевищує сукупної пропозиції (9). Вартість сукупного попиту в конкурентних цінах дорівнює вартості сукупної пропозиції в тих самих цінах (10), де кожний із споживачів максимізує свою корисність у цінах p ^*, а кожний із виробників — свій прибуток у тих самих цінах (8). Отже, існування конкурентної рівноваги означає існування такої системи рівноважних (конкурентних) цін p ^*, за якої узгоджуються конфліктні інтереси споживачів і виробників.

Постає питання, за яких умов існує конкурентна рівновага в моделі Вальраса?

Згідно з теоремою Ерроу—Дебре конкурентна рівновага існує за наявності таких умов:

1. Множина наборів споживчих благ X_i для кожного із споживачів є замкнутою, опуклою і необмеженою множиною: X_i Ì Rⁿ.

2. Кожна множина X_i має нижню границю c_i: x_i ³ c_i, x_i Î X_i, i = 1, …, l.

3. Функція U_i неперервна і ввігнута на X_i, i = 1, …, l.

4. Кожен споживач має, взагалі кажучи, необмежені потреби і володіє певною невід’ємною початковою власністю b_i, i = 1, …, l.

5. Кожна технологічна множина є замкнутою опуклою множиною: Y_k Ì Rⁿ, O Î Y_k .

6. Сукупна технологічна множина Y є опуклою та задовольняє умову: , тобто не може існувати додатного чистого випуску хоча б по одному з товарів без існування хоча б по одному з товарів (ресурсу) від’ємних витрат.

7. Існують такі lm константи , що ,

тобто — частка (питома вага) участі i -го споживача у прибутках k -го виробника (це умова, окрім іншого, означає, що прибуток кожного виробника без залишку розподіляється між споживачами, які є пайовиками).

Зазначимо, що навіть за існування конкурентної рівноваги немає гарантії того, що економіка перейде в цей стан. Необхідно досліджувати, для яких станів економіки є можливим перехід у стан конкурентної рівноваги, а для яких він неможливий. Якщо ж перехід є можливим, треба вказати керівне правило, за якого цей перехід можна здійснити.

3. Контрольні завдання та теми для обговорення

1. Економічний сенс моделі конкурентної рівноваги за Вальрасом.

2. Інтерпретація умов теореми Ерроу—Дебре з погляду економіки.

3. Поясніть, які з умов теореми Ерроу—Дебре виконуються в моделі, наведеній нижче.

Нехай на ринку наявні лише два товари і один узагальнений споживач. Технологічна множина виробничого сектору задається в такому вигляді:

Функція корисності споживача має вигляд: і визначена на множині

Увесь дохід виробничого сектору надходить у розпорядження споживача.

Завдання для самостійної роботи

1. На ринку є три продавці та три покупці. Відомі функції пропозиції і ціни продавців:

та функції попиту за ціни продавців:

де p — ціна товару.

Потрібно визначити ціну рівноваги та обсяг угоди кожного з учасників торгівлі.

2. На ринку мобільних телефонів установилася рівновага за p = 60 грош. од. та Q = 190. Коефіцієнт прямої еластичності попиту дорівнює 0,05,
а коефіцієнт прямої еластичності пропозиції + 0,1.

Якою буде ціна мобільних телефонів, якщо попит зросте на 10 %, а їх пропозиція — на 5 %, за гіпотези, що в даній області змін попиту та пропозиції їхні графіки є лінійними?

3. Функція попиту на торти має вигляд:

а функція їх пропозиції —

де t = 0, 1,..., 6 — дні тижня від неділі до суботи.

А. Визначити рівноважну ціну тортів.

Б. Якою буде ціна у кожний день тижня, якщо в неділю на ринку була рівноважна ціна, а в понеділок попит знизився настільки, що за кожним значенням ціни купували на 10 тортів менше?

В. Якою буде рівноважна ціна за зниження попиту?

4. Відомі функції ринкового попиту: та пропозиції: за кожну продану одиницю продукції виробник повинен сплачувати податок у обсязі 1,5 грош. од. Яку частку цього податку виробник перекладе на споживача?

5. Ринок цементу характеризується такими функціями попиту й пропозиції:

1) Який обсяг податків буде зібрано з продажу цементу, якщо встановити 50 % податку з виручки?

2) На скільки зросте обсяг продажу цементу за умови скасування податку?

6. Яким чином, використовуючи діаграму Еджворта, можна побудувати криву трансформації виробничих потужностей?

7. Миттєва, короткотермінова та довготермінова рівновага

8. Сутність механізмів адаптації за Вальрасом і за Маршаллом.

Дата добавления: 2015-10-23