Парные корреляционные связи.

Методы прогноза, основанные на связи двух параметров – геологического (Н) и какого-либо геофизического (например Δg) – наиболее просты, однако, во многих случаях точность такого прогноза оказывается низкой (ошибка приближения ε – велика), поскольку из-за суммарного характера наблюденных геофизических полей не всегда удается подобрать геофизический параметр тесно корреляционно связанный с изучаемой геологической границей.

Наглядное представление о парной взаимосвязи анализируемых величин дают корреляционные графики (поля корреляции). На рис 3.6 приведен график корреляции глубин залегания кристаллического фундамента Н_ф и аномалий поля Δg, построенный по точкам эталонного пространства. Исходные профильные кривые Н_ф и Δg показаны на рис 3.7. Значения Н_ф и Δg в отсчетных точках профилей являются ординатами и абсциссами соответствующих точек на корреляционном графике. Вытянутость всего “облака” точек вдоль некоторой прямой характеризует тесноту линейной парной корреляционной связи Н_ф и Δg.Если поверхность Н_ф является достаточно сильной гравиактивной границей (скачок средневзвешенного значения плотности порядка 0.2г/см³ и более) и в толще осадочного чехла нет столь же резких перепадов плотности, экранирующих гравитационное влияние фундамента, то вязь Н_ф с Δg может быть действительно близка к линейной.

Тогда целесообразность ее аппроксимации прямой вида Н_ф=А₀+А₁Δg, называемой прямой парной регрессии, становится очевидной. Коэффициенты А₀ и А₁ в данном случае конкретизируют вид прогнозного оператора А_φ из уравнения (1).

Оптимальная аппроксимация, дающая наиболее вероятное положение линии регрессии на плоскости (Н_ф, Δg)_φ, выполняется методом наименьших квадратов [10]. При этом минимизируется сумма квадратов отклонений ΔН исходных значений Н_i от отсчетов, полученных по регрессионной прямой

(3.3)

Здесь N – объем выборки точек эталонного пространства φ. Дифференцируя (3) по неизвестным коэффициентам А₀ и А₁ с учетом линейности оператора суммирования , получим систему уравнений, которые принято называть нормальными [18]:

(3.4)

Решить систему (4) относительно А₀ и А₁ и таким образом конкретизировать вид оператора А_φ несложно. Действительно, из первого уравнения системы имеем

(3.5)

где и - средние значения Н и Δg эталонной выборки.

Умножим теперь первое уравнение на , второе – на N и рассмотрим их разность.

Отсюда получим

(3.6)

Более удобный вид для коэффициента А₁ получается, если поделить числитель и знаменатель формулы (6) на N²:

(3.7)

Здесь - среднее значение произведения Н и Δg в пределах эталонной выборки;

- средний квадрат наблюденного поля Δg в пределах эталонной выборки.

В таком виде числитель и знаменатель в формуле (7) имеют смысл известных выборочных статистических оценок – ковариаций [18].

(3.8)

и дисперсии

(3.9)

Убедиться в этом можно просто раскрыв скобки в формулах (8) и (9) с учетом того, что и в рамках используемой эталонной выборки – величины постоянные. Тогда коэффициент А₁ запишется в компактном виде

(3.10)

Ковариация, как известно, является показателем тесноты взаимосвязи Δg и Н, однако, чтобы не учитывать размерности и размаха величин Δg и Н, удобнее пользоваться нормированной оценкой, называемой коэффициентом корреляции [18]:

(3.11)

где D(Н) – оценка дисперсии глубин Н на используемой эталонной выборке.

Пределы изменения этой величины определяются соотношением

-1≤r(Δg,Н)≤1 (3.12)

Равенство r=нулю означает полное отсутствие линейной связи между величинами Δg и Н (при этом другой, нелинейный, тип связи отнюдь не исключен). По мере приближения r к ±1 статистическая (корреляционная) связь параметров стремится к линейной функциональной зависимости.

Теперь с учетом (5) и (7) уравнение линейной регрессии Н=А₀+А₁∆g можно представить в следующем виде

(3.13)

Отсюда (3.14)

Используя статистические оценки (8) и (9), получим

(3.15)

или, имея в виду формулу (11):

(3.16)

Здесь , - оценки среднеквадратических отклонений (стандарты) величин ∆g и Н в пределах эталонной выборки [18].

Таким образом, из формулы (16) хорошо видно, что коэффициенты оператора связи Aφ в данном случае определяются теснотой корреляции геолого-геофизических параметров и величинами их стандартов.

Погрешность вычисления коэффициентов характеризуется среднеквадратической ошибкой подсчета корреляции:

(3.17)

Следовательно, увеличением мощности эталонной выборки достигается более точная аппроксимация зависимости Н от ∆g.

Однако, получив близкую к единице величину r(∆g,H) и малую ошибку δ(r), еще нельзя утверждать, что значения Н определяются найденным регрессионным оператором в точках эталонного пространства с требуемой для прогнозирования точностью.

Наилучшим показателем в этом смысле является вычисляемая в прогнозной постановке задачи (2) среднеквадратическая ошибка прогноза (приближения) Н по ∆g:

(3.18)

где - значения Н из уравнений (13) - (16).

Если в формулу (18) подставить Н из уравнения (16) и провести соответствующие преобразования, нетрудно получить выражение для в несколько ином виде:

(3.19)

Здесь хорошо видно, что ошибка приближения тем больше, чем больше природная дисперсия Н и уменьшается с возрастанием тесноты корреляционной взаимосвязи Н и ∆g.

Положим, например, стандартное отклонение Н_ф равным 500м (такое значение S(Н) характерно для ряда площадей бортовой зоны Прикаспийской впадины), тогда при r(∆g,H)=0,9 ошибка приближения по формуле (19) составит 218м. Таким образом, высокое само по себе значение коэффициента корреляции в конкретных геолого-геофизических условиях оказалось недостаточным для прогноза с малой ошибкой.

Как уже говорилось, во многих случаях парная корреляционная взаимосвязь геолого-геофизических параметров оказывается довольно слабой. Это чаще всего объясняется суммарным характером большинства геофизических полей. Аномалии ∆g, например, обусловлены помимо одной-двух резких гравиактивных поверхностей, целым рядом слабых плотностных границ геологического разреза, конфигурация которых может существенно отличаться от формы поверхности сильных границ. Указанное обстоятельство ослабляет корреляцию ∆g с Н и, следовательно, способствует увеличению ε_n.

Дата добавления: 2015-10-26