Рассмотрим систему вида

(6)

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Из неизвестных , , и свободных членов составим матрицы – столбцы

; .

Тогда система (6) в матричной форме примет вид

.

(7)

Чтобы найти матрицу , умножим (7) на слева.

A

ПРИМЕР 8.

.

Найти обратную матрицу .

РЕШЕНИЕ.

1) Составляем и вычисляем определитель

.

Определитель вычислен по правилу треугольника.

2) Транспонируем матрицу. Получаем

.

3) Вычисляем алгебраические дополнения

; ; ; ; ; ; ; ; .

;

Вычисляем . Вычеркиваем первую строку и второй столбец. Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов.

; .

Вычисляем .

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; .

Составим обратную матрицу

A

A

Сделаем проверку

ПРИМЕР 9.

Решить систему матричным способом

.

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу :

.

Из неизвестных составим матрицу – столбец:

.

Из свободных членов составим матрицу – столбец:

.

Тогда система запишется в виде

.

Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на слева. Получаем:

.

Находим обратную матрицу:

; ;

; .

Умножая обратную матрицу на , получаем матрицу .

.

Отсюда получаем ответ:

; ; .

Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса.

11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вектором называют направленный отрезок в пространстве или на плоскости, который можно передвигать параллельно самому себе. Один конец называется началом (точка ), а другой конец (точка ) – концом вектора .

вектор вектор

Вектор характеризуется длиной (или модулем ), которая равна длине отрезка , и направлением от к .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых ().

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Определим линейные операции над векторами. К таким операциям относятся сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число.

Сложение и вычитание векторов можно выполнить по правилу треугольника (рис. 1а) или по правилу параллелограмма (рис. 1б).

Рис. 1а Рис. 1б

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Произведением вектора на число называют такой вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если , и противоположно , если .

Если , то вектор называется противоположным к (рис. 2).

()

Рис. 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Множество всех векторов пространства с введенными на нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство.

Определим понятие базиса и координат вектора в данном базисе.

ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ 6. Система векторов , , , …, называется линейно зависимой, если существуют числа , , … , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и

(8)

Если система линейно независима, то в (8) все . Пусть для определенности коэффициент , тогда из равенства (8) можно найти

.

Итак, для линейно зависимой системы векторов , , , …, любой вектор можно представить как линейную комбинацию остальных () векторов. Для линейно независимой системы векторов такое представление невозможно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Совокупность линейно независимых векторов , , …, , взятых в определенном порядке, образует базис пространства, и обозначается базис .

На плоскости (в ) базис образует два линейно независимых вектора, в трехмерном пространстве (в ) – три линейно независимых вектора и в пространстве – линейно независимых векторов.

Два коллинеарных вектора и являются зависимыми, так как . Поэтому на плоскости два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Аналогично, три любых некомпланарных вектора образуют базис трехмерного пространства .

Базис в Базис в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Любой вектор в пространстве единственным образом определяется в виде суммы:

,

(9)

где числа , , называются координатами вектора в данном базисе.

Равенство (9) представляет разложение вектора по базису в трехмерном пространстве (в ). На плоскости (в ) вектор имеет разложение по базису :

.

Замечание. Записи и означают одно и то же: вектор имеет координаты , , в данном базисе .

Необходимым и достаточным условием линейной независимости трех векторов , и является условие:

.

ПРИМЕР 10. Найти разложение вектора по векторам , и .

РЕШЕНИЕ. Проверим, являются ли векторы , , линейно независимыми, то есть образуют ли они базис. Для этого вычислим определитель третьего порядка, составленный из координат векторов , , по методу треугольника:

,

то есть векторы , , являются базисом, тогда , где , , – неизвестные координаты вектора в базисе , , . Составим систему:

.

Решаем методом Крамера:

; ;

; .

, , .

Следовательно, или .

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами этих векторов по следующим правилам:

1) Координаты алгебраической суммы векторов и равны суммам соответствующих координат:

(10)

2) Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат на :

(11)

Самым удобным является базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов.

В трехмерном пространстве с декартовыми прямоугольными координатами такой базис составляют векторы (рис. 3б), на плоскости – (рис. 3а).

0

0

Рис. 3а Рис. 3б

Тогда координаты произвольного вектора являются проекциями этого вектора на соответствующие координатные оси, и разложение вектора по базису имеет вид

или

(12)

Такой базис называют декартов базис. В этом базисе справедливы следующие теоремы и формулы.

ТЕОРЕМА 1. Если известны координаты точек и , то координаты вектора находятся по формулам

, , .

(13)

ПРИМЕР 11. Пусть даны две точки и . Найти координаты и .

РЕШЕНИЕ. и – находим по формуле (13).

Итак, если известны координаты начала и конца вектора, то для отыскания координат самого вектора нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала.

ТЕОРЕМА 2. Если векторы и коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть

, ;

.

(14)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Скалярным произведением векторов и (обозначается ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

(15)

ТЕОРЕМА 3. Скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, вычисляется по формуле

(16)

Скалярное произведение применяется в геометрии и механике:

1. Косинус угла между векторами и находится по формуле

(17)

2. Проекция вектора на вектор :

.

(18)

3. Если два вектора и перпендикулярны, то , то есть

,

(19)

– условие перпендикулярности двух векторов.

4. Если вектор задает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа этой силы определяется равенством

(20)

– физический смысл скалярного произведения.

ТЕОРЕМА 4. Модуль вектора (длина) находится по формуле

.

(21)

ПРИМЕР 12. Вычислить работу равнодействующей сил

, и ,

приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки в точку .

РЕШЕНИЕ. Так как равнодействующая сил , , то работа вычисляется по формуле (13):

(дж).

ПРИМЕР 13. Найти длину вектора , если и

РЕШЕНИЕ. Обозначим , , т. к. . По формуле (14) .

.

ПРИМЕР 14. Найти длину вектора , если известно , и .

РЕШЕНИЕ. Обозначим . Тогда длина вектора

.

(Использованы формулы (15) и (21)).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом: (рис. 4)

1. Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть

;

(22)

2. Вектор перпендикулярен векторам и ;

3. Векторы , , после приведения в общему началу образуют правую тройку векторов, то есть ориентированы по отношению друг к другу как базис .

Рис. 4

ТЕОРЕМА 5. Векторное произведение векторов и , заданных своими координатами, находится по формуле

.

(23)

ПРИМЕР 15. Даны вершины треугольника , и . Найти косинус угла и площадь треугольника .

РЕШЕНИЕ. Угол образован векторами и . Найдем координаты этих векторов по формуле (13):

, .

По формуле (17)

.

Треугольник является половиной параллелограмма, построенного на векторах и . Тогда

.

Найдем векторное произведение векторов по формуле (23):

;

.

(кв. ед.).

Векторное произведение применяется в геометрии и механике для нахождения площади треугольника и параллелограмма (см. пример 15) и момента силы. Если вектор задает силу, приложенную к какой-нибудь точке , а вектор идет из недвижимой точки в точку , то вектор представляет собой момент силы относительно точки – физический смысл векторного произведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Если два вектора и умножить векторно , а полученный результат умножить на вектор скалярно, то число называется смешанным произведением трех векторов , , .

ТЕОРЕМА 6. Смешанное произведение трех векторов , и находится с помощью определителя третьего порядка:

.

(24)

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие

.

(25)

ТЕОРЕМА 7. Смешанное произведение трех векторов , , по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах:

.

(26)

ПРИМЕР 16. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах , , .

РЕШЕНИЕ. Объем призмы равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . Тогда по формуле (26) имеем

.

Запишем координаты векторов , и .

Найдем смешанное произведение по формуле (24):

.

Тогда (куб. ед.).

12. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

ТЕОРЕМА 8. В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно и :

(27)

где , и – коэффициенты (при условии , то есть хотя бы одно из чисел и не равно нулю), и обратно, всякое уравнение вида (27) определяет прямую.

Если , то уравнение примет вид или – это уравнение прямой, параллельной оси .

Аналогично – уравнение прямой, параллельной оси .

Уравнение (27) называется общим уравнением прямой.

Если , то уравнение можно разрешить относительно и представить в виде

, где

(28)

Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Угол , отсчитываемый от положительного направления оси до прямой, называется углом наклона прямой, а число определяет начальную ординату, то есть величину отрезка, отсекаемого прямой на оси (рис. 5).

0

Рис. 5

Если прямые заданы уравнениями и , то угол между ними находится по формуле

(29)

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов , а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы , то есть .

(30)

ПРИМЕР 17. Вычислить величину меньшего угла между прямыми и .

РЕШЕНИЕ. Разрешим общие уравнения прямых относительно переменной : и .

Отсюда следует, что угловые коэффициенты прямых , , так как , то прямые пересекаются, и по формуле (29)

.

Острый угол = .

Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости:

1) Уравнение прямой в «отрезках»:

,

(31)

где – отрезок, отсекаемый на оси , – на оси .

2) Уравнение через точку и угловой коэффициент :

.

(32)

ПРИМЕР 18. Через точки и проведена прямая . Проходит ли она через начало координат?

РЕШЕНИЕ. Возьмем на данной прямой еще одну текущую точку . Пусть координаты этой точки . Тогда векторы и лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. Найдем координаты векторов и : и . Из условий коллинеарности двух векторов (формула 14) получаем уравнение прямой :

.

Отсюда или .

Прямая не проходит через начало координат, так как точка не удовлетворяет уравнению прямой: .

ПРИМЕР 19. Точка лежит на прямой, перпендикулярной к прямой . Найти уравнение этой прямой.

РЕШЕНИЕ. Определим угловой коэффициент первой прямой: , отсюда . С учетом перпендикулярности прямых (формула 30) . Тогда уравнение второй прямой можно найти по формуле (32):

или .

13. ПЛОСКОСТЬ

ТЕОРЕМА 9. В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводится к виду

,

(33)

где , , и – заданные числа, причем , и обратно, уравнение (33) всегда является уравнением плоскости.

Уравнение (33) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты , и являются координатами нормального вектора , то есть вектора, перпендикулярного к плоскости.

Существуют различные способы задания плоскости в и соответствующие им виды уравнений.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Если плоскость проходит через точку и перпендикулярна вектору , то ее уравнение записывается в виде

(34)

2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде

(35)

Раскрывая определитель по элементам первой строки, придем к общему уравнению плоскости (33).

3. Уравнение плоскости в «отрезках» (рис. 6).

Дата добавления: 2015-10-26