Потенциальные барьеры. Туннельный эффект

Лекция 13

Сначала рассмотрим простейший случай — прямоугольный потенциальный барьер, когда потенциальная энергия U зависит только от одной координаты х, причем при х = 0 претерпевает скачок (рис. 5.17.1).

Рис. 5.17.1. Схематическое изображение потенциального барьера. Горизонтальные линии - два значения энергии, налетающих частиц.

Потенциальный профиль барьера можно представить формулой

Пусть слева на барьер налетает частица с полной энергией Е.

На языке квантовой теории это означает, что на барьер слева «падает» дебройлевская волна

.

Чтобы удовлетворить граничным условиям для Y и при х = 0, должна существовать как прошедшая волна, так и отраженная.

В этих трех волнах частота w одна и та же (), поэтому в дальнейших расчетах мы можем ограничиться только координатной частью этих волн, а именно y(х).

Сначала найдем амплитуды отраженной и падающей волн, а затем — коэффициенты отражения R и пропускания D для такого барьера.

Исходя из УШ, получаем

,

где с учетом высоты барьера введено обозначение

.

Далее, решение УШ возможно в двух случаях (см. рис. 5.17.1), при и при .

1⁰. В случае общее решение УШ имеет вид:

Далее будем полагать, что падающая волна характеризуется амплитудой a _l, причем вещественной, а отраженная — амплитудой b ₁.

В области х > 0 имеется только проходящая волна, поэтому b ₂ = 0.

Из условия непрерывности y и в точке х = 0 следует

Откуда получаем

Из совместного решения этих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны a _l равны:

.

Для определения коэффициентов R и D введем понятие плотности потока вероятности j.

Скорость распространения вероятности такого потока совпадает с классической скоростью υ частицы, для которой можно написать .

Таким образом, , следовательно, плотность потока вероятности j пропорциональна величине .

В соответствии с видом Y-функции для падающей, отраженной и прошедшей волн мы имеем

.

Теперь можно записать выражения для коэффициентов отражения R и пропускания D:

.

Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определению.

Кроме того, видно, что значения R и D не зависят от направления движения частицы: слева направо на рис. 5.17.1 или наоборот.

Заметим, что в классическом случае R = 0 при .

2⁰. В случае формулы

.

остаются справедливыми.

Однако k ₂ будет чисто мнимым, поскольку .

При этом выражение для коэффициента отражения следует записать в виде

.

Здесь числитель и знаменатель — величины комплексно-сопряженные.

Это значит, что , т. е. отражение частиц не будет полным.

Боле того Y-функция при х > 0 не обращается в нуль.

В самом деле, полагая , где , получим, что и плотность вероятности местоположения частицы

.

Видно, что с увеличением глубины проникновения х плотность вероятности Р (х) убывает экспоненциально.

Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность .

Обычно глубину проникновения определяют как расстояние l, на котором Р (х) убывает в е раз.

При этом в Р (х) (см. формулу) и

.

Можно убедиться, что для электрона при эВ глубина проникновения см.

Таким образом Y-функция проникает в область х > 0, несмотря на то, что падающая волна отражается почти полностью.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной.

Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туннельному эффекту.

Он заключается в следующем.

Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер , то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т. е. пройти область, где Е < U.

В качестве иллюстрации приведем результаты расчета плотности вероятности Р (х) местоположения частицы, налетающей слева на простейший прямоугольный потенциальный барьер, показанный на рис. 5.17.2.

Рис. 5.17.2. Схематическое изображение прямоугольного барьера

и плотности вероятности как функции x.

Слева от барьера мы имеем падающую и отраженную волны, а за барьером — только прошедшую волну.

Внутри барьера Y-функция имеет не волновой характер, в результате чего Р (х) убывает практически экспоненциально.

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 5.17.3)

Рис. 5.17.3. Изображение потенциального барьера

произвольной формы.

расчет показывает, что коэффициент прохождения частицы сквозь барьер, равен

.

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше по сравнению с Е.

Туннельный эффект — специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе не может быть).

Этим эффектом объясняются многие физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

Дата добавления: 2015-10-26