Рабочая программа

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Введение. Механическое движение как одна из форм движения материи. Предмет механики. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Механика как теоретическая база ряда областей современной техники.

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные понятия и аксиомы статики. Предмет статики. Основные понятия статики: абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая, силы внешние и внутренние. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные виды связей: гладкая плоскость или поверхность, гладкая опора, гибкая нить, цилиндрический и сферический шарниры, невесомый стержень реакции этих связей.

Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы сложения сил. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил. Геометрическое и аналитическое условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сил, расположенных на плоскости (плоская система сил). Алгебраическая величина момента силы. Пара сил, ее свойства. Теорема о параллельном переносе силы. Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Условия равновесия плоской системы параллельных сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Распределенная нагрузка. Расчет составных конструкций. Расчет ферм.

Произвольная пространственная система сил. Момент силы относительно оси. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Сцепление и трение тел. Законы Амонтона-Кулона. Коэффициенты сцепления и трения скольжения. Угол и конус трения. Трение качения.

Центр тяжести. Центр тяжести твердого тела и его координаты. Центр тяжести объема, площади и линии. Способы определения положения центров тяжести.

КИНЕМАТИКА

Введение в кинематику. Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отсчета. Задачи кинематики.

Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная от ее радиус-вектора по времени. Координатный способ задания движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.

Естественный способ задания движения точки. Оси естественного трехгранника. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения точки по его проекциям на оси естественного трехгранника: касательное и нормальное ускорения точки.

Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение (закон) вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения движения. Определение скоростей точек плоской фигуры.

Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютное движение. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., 1954 и последующие издания.

Гернет М.М. Курс теоретической механики. М., 1970 и последующие издания.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1963 и последующие издания.

Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1970 и последующие издания.

Сборник задач по теоретической механике. / Под ред. К.С.Колесникова. М., 1983.

Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / Под ред. А.А. Яблонского. М., 1972 и последующие издания. (Содержит примеры решения задач.)

Пирогов С.П. Краткий курс лекций по теоретической механике. Тюмень, «Вектор Бук», 2001 г.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ОБЩИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

Контрольное задание состоит из четырех задач - С1, С2,К1, К2.

К каждой задаче (кроме К1) дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4- это рис. 4 к задаче С1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой “Указания”; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

СТАТИКА

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0 - С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках.

На раму действуют пара сил с моментом М=100 Н×м и сила, значение, направление и точка приложения которой указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действует сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять L =0,5 м.

Указания. Задача С1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных),

Таблица С1

Сила
	F1=10 H	F2=20 H	F3=30 H	F4=40 H
Номер условия	Точка прилож.	a°1	Точка прилож.	a°2	Точка прилож.	a°3	Точка прилож.	a°4
	-	-	D				-	-
	К		-	-	-	-
	-	-			K		-	-
			-	-	-	-	D
	-	-			D		-	-
	H		-	-			-	-
	-	-			-	-	K
	D		-	-			-	-
	-	-	H		-	-
			-	-	-	-	K

если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки B). При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F ^/ и F ^//, для которых плечи легко вычисляются, в частности на составляющие, параллельные координатным осям, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда m_O(F)=m₀(F ^/)+m₀(F ^//).

Пример С1. Жесткая рама АВС (рис. С1) имеет в точке B неподвижную шарнирную опору, а в точке C - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Рис. С1

Дано: F=25 кH, a=60^o, b=30°, М=50 кH×м, L =0,5 м.

Определить: реакции в точках B и C, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ХУ и изобразим действующие на раму силы: силу F, пару сил с моментом М и реакции связей X_B, Y_B, R_C (реакцию неподвижной шарнирной опоры B изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Составим три уравнения равновесия плоской системы сил. При вычислении момента силы F относительно точки B воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу F на составляющие F ^’, F’’ (F ^’= F cos a, F ^’’= F sin a) и учтем, что m_B(F)=m_B(F ^’ )+m_B(F ^'' ). Получим:

1. SF_kx = 0, X_B + R_C sinb - F cosa = 0;

2. SF_ky = 0, У_B + R_C cosb + F sina = 0;

3. Sm_B(F_k) = 0, M - R_Ccosb×4 L + F cosa × 2 L = 0.

Из этих уравнений находим:

Из (3):

Из (1): X_B = - R_C sinb + F cosa;

Из (2): Y_B = - R_C cosb - F sina;

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин, и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: X_B = - 5,5 кH, Y_B = 9,6 кH, R_C =36,1 кH.

Знаки указывают, что сила X_B направлена противоположно показанной на рис.С1.

Задача С2

Рама, состоящая из двух абсолютно твердых ломаных стержней, соединенных между собой шарниром, (рис. С2.0 – С2.9, табл. С2) закреплена в точке А жесткой заделкой, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. Положение шарнира указано в табл.С2.

На раму действуют: пара сил с моментом М=100 Н×м и сила, значение, направление и точка приложения которой указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действует сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке D), а также распределенная нагрузка интенсивностью q=20 Н/м, приложенная на участке, указанном в таблице. Если распределенная нагрузка приложена на горизонтальном участке, то она действует вниз, а если на вертикальном, то вправо.

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками, а также реакцию внутренней связи. При окончательных подсчетах принять L =0,5 м.

Указания. Задача С2 - на равновесие составных конструкций под действием плоской системы сил. Для определения всех силовых факторов в заделке и реакций шарнирной опоры и внутренней связи необходимо рассмотреть равновесие каждого тела, из которых состоит рама, отдельно, учитывая, что силы взаимодействия между телами равны по величине и противоположны по направлению.

Таблица С2

Сила			Точка в которой находится внутренний шарнир	Участок приложения распределенной нагрузки
	F1 = 10 H	F2 = 20 H
№ условия	Точка прилож	a°1	Точка прилож	a°2
	-	-	N		D	KB
	D		-	-	K	DK
	-	-	K		H	AD
	D		-	-	E	EB
	-	-	D		N	AN
	H		-	-	D	AN
	-	-	E		K	DK
	D		-	-	H	KB
	-	-	H		E	DN
	K		-	-	N	AN

Пример С2. Рама, состоящая из двух изогнутых стержней, соединенных между собой шарниром С, закреплена в точке А жесткой заделкой, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками, а также реакцию внутреннего шарнира С (рис.С2,а).

Дано: F=20H, M=50 H×M, q=10H/м.

Решение. Рассмотрим равновесие отдельных участков рамы, разделив ее в шарнире С. При этом к левому участку рамы (рис.С2,в) согласно аксиоме отбрасывания связей будут приложены силы реакции опоры В – Rв и реакция в шарнире С, которую разложим на две составляющие – Хс и Ус, а на правую (рис.С2,б) – реакции заделки: силы Ха и Уа, реактивный момент Ма, реакции шарнира С: и , модули которых равны Хс и Ус, а направление противоположно.

Составим уравнения равновесия плоской системы сил, приложенной к правой части рамы (рис.С2,в).

1.

2.

3.

Из (1):

из (3): ,

из (2): .

Затем составим уравнения равновесия плоской системы сил, приложенной к правой части рамы (рис.С2,б). При этом распределенную нагрузку заменяем равнодействующей Q=3q=30 H, приложенной в центре участка приложения нагрузки.

4.

5.

6.

Из этих уравнений находим:

Из (4):

Из (5): ,

Из (6):

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости xy (табл. К1.1, К1.2). Закон движения точки задан уравнениями: x=f₁(t), y=f₂(t), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f₁(t) указана в табл. К1.1, а зависимость y=f₂(t) дана в табл. К1.2 (для вар.0 - 2 в столбце 2, для вар.3 - 6 в столбце 3, для вар.7 - 9 в столбце 4). Номер варианта в табл. К1.1 выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1.2 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение

точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁=1с.

Таблица К1.1

№ вар.	x = f (t)	№ вар.	x = f (t)
	x = 4 sin (pt/2)		x = 2t
	x = 3 - 6 sin (pt/2)		x = 2t + 2
	x = 3 sin (pt/2) - 2		x = 12 cos (pt/2)
	x = 4 - 2t		x = 6 cos (pt/2) - 2
	x = 2t + 4		x = 4 - 8 cos (pt/2)

Таблица К1.2

Номер		y = f2 (t)
условия	Вар. 0 - 2	Вар. 3 - 6	Вар. 7 - 9
	9cos(pt/2)	t^2 - 2	-4cos(pt/2)
	3cos(pt/2)	(t + 4)^2	10sin(pt/2)
	6cos^2(pt/2)	4 + 2t^2	12sin^2(pt/2)
	12cos(pt/2)	2(t + 1)^2	4sin(pt/2)
	9cos(pt/2)	4t^2 - 2	12cos(pt/2)
	-10cos(pt/2)	3t^2 - 2	3sin(pt/2)
	8cos(pt/2)	(t + 1)^3	16sin^2(pt/2)
	-9cos^2(pt/2)	6t^2	6cos(pt/2)
	6cos(pt/2)	2t^3	- 9sin(pt/2)
	2cos(pt/2)	4t^3	8cos(pt/2)

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

x = 2 t, y = t² (1)

(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t.

Отсюда находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):

y = x² / 4 (2)

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Рис. К1

и при t=1 c: V_1x = 2 см/c, V_1y = 2 см/c, V₁ = 2,83 см/c. (3)

Аналогично найдем ускорение точки:

и при t=1 c a_1x = 0 см/c², a_1y = 2 см/c², a₁ = 2 см/c². (4)

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V²_x+V²_y. Получим

и . (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁=1 c a_1t= 1,4 см/с².

Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a ₁ и a _1t, получим, что при t₁= 1 а _1n = 1,43 см/с².

Радиус кривизны траектории r = V²/a_n. Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c r₁ =5,59 см.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, связанных ременной передачей, зубчатой рейки 3 и груза 4, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 - К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1- r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 - r₂ = 6 см, R₂ = 8 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

В столбце “Дано” таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j₁(t) - закон вращения колеса 1, s₃(t) - закон движения рейки 3, w₂(t) - закон изменения угловой скорости колеса 2, v₄(t) - закон изменения скорости груза 4 и т.д. (везде j выражено в радианах, s - в сантиметрах, t - в секундах). Положительное направление для j и w - против хода часовой стрелки, для s₃, s₄ и v₃, v₄ - вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 c указанные в таблице в столбцах “Найти” скорости (v - линейные, w - угловые) и ускорения (а- линейные, e - угловые) соответствующих точек или тел (v₄ - скорость груза 4 и т.д.).

Указания. Задача К2 - на исследование вращательного движения

Таблица К2

Номер	Дано	Найти
условия		скорости	ускорения
	s4 = 4(7t - t^2)	vA, vB	e1, aA, a3
	v4 = 2(t^2 - 3)	vA, vB	e2, aB, a3
	j1 = 2t^2 - 9	v3, w1	e2, aB, a4
	w2 = 7t - 3t^2	v4, w1	e2, aB, a4
	j2 = 3t - t^2	v3, w2	e2, aA, a4
	w1 = 5t - 2t^2	v4, vA	e2, aB, a3
	j1 = 2(t^2 - 3t)	v3, w2	e2, aB, a4
	V3 = 3t^2 - 8	vB, w1	e1, aA, a4
	s4 = 2t^2 - 5t	v3, w1	e1, aB, a3
	w1 = 8t - 3t^2	v4, vA	e1, aB, a3

твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s - в сантиметрах, t - в секундах), А - точка обода колеса 3, t₁=3 c.

Определить: w₃, v₄, e₃, a_A , в момент времени t=t₁.

Рис.К2

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

v₁ = = 9t². (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂=v₁ или w₂R₂=v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂=v₃ или w₂r₂=w₃R₃. Из этих равенств находим

, . (2)

Тогда для момента времени t₁=3 c получим w₃=6,75 c^-1.

Определяем v₄. Так как v₄=v_B=w₃r₃, то при t₁=3 c v₄=20,25 см/c.

Определяем e₃. Учитывая второе из равенств (2), получим

e₃= = 1,5t. Тогда при t₁=3 c e₃=4,5c^-2.

Определяем a _A. Для точки А , где численно a^t _A= R₃e₃, aⁿ_A =R₃w₃². Тогда для момента времени t₁=3 c имеем

a^t _A= 36 см/c², aⁿ_A = 364 см/c²; =366 см/c².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.К2.

Дата добавления: 2015-10-31