Математические отношения

Для понимания истинного смысла термина отношение рассмотрим несколько математических понятий. Допустим, у нас есть два множества, D₁ и D₂, где D₁={2,4} и D₂={1,3,5}. Декартовым произведением этих двух множеств (обозначается как D₁хD₂) называется набор из всех возможных пар, в которых первым идет элемент множества D₁, а вторым — элемент множества D₂. Альтернативный способ выражения этого произведения заключается в поиске всех комбинаций элементов, в которых первым идет элемент множества D₁, а вторым — элемент множества D₂. В данном примере получим следующий результат:

Любое подмножество этого декартового произведения является отношением. Например, в нем можно выделить отношение R, показанное ниже.

Здесь D₁ и D2 – это фактически два домена, используя которые мы хотим построить отношения, состоящие из 2 атрибутов, т.е. таблицы из 2 столбцов. Т.Е. в каждой строке (кортеже) будут по 2 элемента (значения) - это два значения, каждое из которых взято из своего домена. Здесь мы сначала с помощью операции декартового произведения генерируем все возможные пары значений (нет одинаковых). Потом из полученного множества всех пар (декартова произведения) выбираем некоторые подмножества, которые и являются отношениями (что соответствует определению отношения). Таким образом, декартово произведение служит как бы «генератором» всех возможных строк (кортежей) создаваемой таблицы (отношения). Т.е. это формальный математический аппарат для получения отношений.

Для определения тех возможных пар, которые будут входить в отношение, можно задать некоторые условия их выборки. Например, если обратить внимание на то, что отношение R содержит все возможные пары, в которых второй элемент равен 1, то определение отношения R можно сформулировать следующим образом:

На основе тех же множеств можно сформировать другое отношение, S, в котором первый элемент всегда должен быть в два раза больше второго. Тогда определение отношения S можно сформулировать так:

В данном примере только одна возможная пара данного декартового произведения соответствует этому условию:

S = {(2,1)}

Понятие отношения можно легко распространить и на три множества. Пусть имеется три множества: — D₁, D₂ и D₃. Декартово произведение D₁хD₂хD₃ этих трех множеств является набором, состоящим из всех возможных троек элементов, в которых первым идет элемент множества D₁, вторым — элемент множества D₂, а третьим — элемент множества D₃. Любое подмножество этого декартового произведения является отношением. Рассмотрим следующий пример трех множеств и вычислим их декартово произведение:

Любое подмножество из приведенных выше троек элементов является отношением. Увеличивая количество множеств, можно дать обобщенное определение отношения на п доменах. Пусть имеется n множеств D₁, D₂,..., D_n. Декартово произведение для этих п множеств можно определить следующим образом:

Обычно это выражение записывают в таком символическом виде:

Любое множество n-арных кортежей этого декартового произведения является отношением п множеств. Обратите внимание на то, что для определения этих отношений необходимо указать множества, или домены, из которых выбираются значения.

Из вышесказанного следует, что математически отношение определяется следующим образом:

Пусть даны "N" множеств Dl, D2,...,DN, тогда R есть отношение над этими множествами, если R есть множество упорядоченных n-кортежей вида <dl, d2,..., dn>, где dl - элемент из Dl, d2 - элемент из D2,... и dn - элемент из DN.

Dl, D2,.... DN назы­ваются доменами отношения R.

Рис.11. Отношение с математической точки зрения

Дата добавления: 2015-07-08