Определение.

Лекция № 9

(лек.2 час + пр. зан 2час+ лаб.4час.+ сам. 4 час)

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

В разделе "Логика предикатов" предметом изучения будут предикаты - отображения произвольных множеств во множество высказываний. Логика предикатов — новая логическая система, представляющая развитие логики высказываний. Исторически понятие о предикатах явилось следствием логического анализа высказываний, т.е. выяснения их логической структуры. Выяснения того, какой логикой может быть выражен смысл этих высказываний.

Определение предиката

2.

Определение.

Пусть Х₁, Х₂,..., Х_п произвольные переменные. Эти переменные будем называть предметными. Пусть наборы переменных (выбираются из множества X, которые будем называть предметной областью. Предикатом местности n (n - местным предикатом), определенным на предметной области X, называют отображение множества X во множество высказываний.

Обозначение: P()- n - местный предикат, определенный на X:=().

Дадим другое определение предиката.

Рассмотрим пример: «х простое число». Это выражение не является высказыванием, но если в нем переменную х заменить на определенное число, то получим высказывание. Причем при замене х на число 3 получим истинное высказывание, тогда как при замене х на 8 получим ложное высказывание.

Таким образом, выражение: «х простое число» можно рассматривать как функцию Р(х), зависящую от переменной х. Область определения Р(х) — множество чисел, а область значения — высказывание.

Предикаты - отображения произвольных множеств во множество высказываний. Пусть х₁,х₂,..., х_n - произвольные переменные. Эти переменные будем называть предметными. Пусть наборы переменных х₁,х₂,..., х_n выбираются из множества X, которые будем называть предметной областью.

Предикатом местности n (n- местным предикатом), определенным на предметной области X, называют отображение множества X во множество высказываний.

Обозначение: P(х₁,х₂,..., х_n) - n -местный предикат, определенный на X:={х₁,х₂,..., х_n}.

Дадим другое определение предиката.

N - местный предикат - это связное повествовательное предложение, содержащее n переменных и обладающее следующим свойством: при фиксации всех переменных о нем (предложении) можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры.

1) Р(х₁, х₂) "Натуральное число х₁ делится (без остатка) на натуральное число х₂ " - двуместный предикат, определенный на множестве пар натуральных чисел (х₁, х₂ N). Очевидно Р(4, 2) =1; Р(5, 3) = 0

2) Р(х) = “x² < -1, x R” - одноместный предикат, определенный на R.

Ясно, что Р(-1) = 0 и вообще предикат P(x) - тождественно ложен, т.е. Р(x) = 0

3) Р(х, y, z) = “x² + y² ≤ z, x,y,x R” - трехместный предикат, определенный на R³. Р(1, 1, -2) = 0, Р(1, 1, 2) = 1

Предикат — это функция, значениями которой являются высказывания о п объектах, представляющих значения аргументов.

Чтобы задать п -местный предикат Р(х₁, х₂,..., х_п), следует указать множества Х₁, Х₂,..., Х_п — области изменения переменных х₁, х₂,..., х_п, причем чаще всего рассматривается случай, когда Х₁ = Х₂ =...= Х_п.

С теоретико-множественной точки зрения предикат определяется заданием подмножества М в декартовом произведении X₁ Ч Х₂ Ч... Ч Х_п.

Переменные х₁, х₂,..., х_п называются предметными переменными. Элементы множеств Х₁, Х₂,..., Х_п называются предметами. Множество М — множество кортежей длины п < х₁, х₂,..., х_п > называется полем предиката Р(х₁, х₂,..., х_п).

Будем обозначать предметные переменные малыми буквами конца латинского алфавита (иногда будем снабжать эти буквы индексами) x, y, z, …, х₁, х₂,..., х_п.

Предметы из множеств Х₁, Х₂,..., Х_п — малыми буквами начала латинского алфавита а, b, с,..., a₁, a₂, …

Предикаты — большими буквами латинского алфавита с приписанными предметными переменными или без них А(х, х). В, F(x, y), Р(х₁, х₂,..., х_п).

Число переменных будем указывать как верхний индекс у предиката: Р^k(х₁, х₂,..., х_k) — k- местный предикат, Q²(x, у) — двуместный предикат, Р(х) — одноместный предикат.

Итак, k- местный предикат — Р^k(х₁, х₂,..., х_k) есть функция, предметные переменные которой принимают значения из некоторого множества М_k, а сама она принимает только два значения: истина (1) или ложь (0), т.е.

---

Дата добавления: 2015-07-07