Указания.

ВВЕДЕНИЕ

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел без рассмотрения их массы и сил, вызывающих это движение.

Движением называется изменение положения одних тел по отношению к другим телам.

Тело, по отношению к которому рассматривается движение, называется телом отсчета.

Тело отсчета и жестко связанная с ним система координат называются системой отсчета.

По виду движущихся объектов кинематика подразделяется на кинематику точки и кинематику твердого тела.

Точкой считается тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Движение точки, которое рассматривается относительно двух систем отсчета – подвижной и неподвижной называется сложным.

Задача кинематики твердого тела состоит в изучении движения тела в целом, а также в изучении движения каждой точки этого тела. Вид формул для определения кинематических характеристик движения тела будет зависеть от вида движения.

Основные виды движения твердого тела – поступательное, вращательное (вращение тела вокруг неподвижной оси), плоскопараллельное (плоское).

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе.

Вращательное - это такое движение тела, при котором хотя бы две его точки неподвижны.

Плоскопараллельное - это такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся параллельно какой-нибудь неподвижной плоскости.

В настоящих методических указаниях представлены четыре задания по основным темам кинематики: К1- кинематика точки, К2-поступательное и вращательное движение твердого тела, К3 – плоское движение тела, К4- сложное движение точки.

Перед тем, как приступить к решению заданий, необходимо изучить соответствующие разделы кинематики.

З А Д А Н И Е К1

По заданным уравнениям движения точки найти уравнение траектории, скорость, ускорение, а также радиус кривизны траектории в момент времени t₁. Построить график траектории, указать положение точки в момент t₁ и вектора скорости и ускорения. Данные – в табл. К1.

Таблица К1

№ вар.	X=f(t) (см)	Y=f(t) (см)	t1(сек)
1.	5sin(2t)	5cos(2t)-2
2.	2sin(pt/2)	3sin(pt/2)-2	0,5
3.	3t^2+2t	6t^2+4t+5
4.	4t^2+3t	6t
5.	2t+3	3t^2-2t
6.	2cos(pt/3)	3sin(pt/3)
7.	3sin^2(pt/2)	2cos^2(pt/2)
8.	3sin(2t)	3cos(2t)+2
9.	2t^2	1/(t+1)
10.	3cos(pt/3)+3	4sin(pt/3)-2
11.	cos^2(pt/6)	sin(pt/6)-2
12.	2cos(pt/2)	3cos(pt/2)-2	0,5
13.	2t	3t^3-4
14.	2cos^2(pt/4)	3sin^2(pt/4)
15.	5t+2	3t^2-2t+2
16.	5t^2-2t+1	3t
17.	3sin(2t)	3cos(2t)+2
18.	2sin(pt/2)	3sin(pt/2)-2	0,5
19.	6t^2+4t+5	3t^2+2t
20.	6t	4t^2+3t
21.	3t^2-2t	2t
22.	3sin(pt/3)	2cos(pt/3)
23.	3cos^2(pt/2)	2sin^2(pt/2)
24.	2cos(2t)+3	3sin(2t)
25.	1/(t+1)	2t
26.	2cos(pt/3)-23	3sin(pt/3)-1
27.	sin(pt/6)	-2cos^2(pt/6)
28.	3cos(pt/2)-2	2cos(pt/2)	0,5
29.	2t^3-4	3t
30.	2sin^2(pt/4)	3cos^2(pt/4)

Указания.

Для получения уравнения траектории нужно из уравнений движения исключить время. При этом, если в уравнения входят тригонометрические функции, нужно воспользоваться соотношением: .

Пример выполнения задания.

Дано:

Уравнения движения точки в плоскости ху:

x = 2×t, y = t²

(х, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Из первого уравнения t=x/2, подставляя во второе, находим уравнение траектории точки y = x² / 4. Таким образом траекторией будет правая ветвь параболы (поскольку значения Х и У из уравнений движения будут положительными (рис. К1.1).

Рис. К1.1

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

,

и при t=1 c: V_1x = 2 см/c, V_1y = 2 см/c, V₁ = 2,83 см/c.

Аналогично найдем ускорение точки:

,

и при t=1 c a_1x = 0 см/c², a_1y = 2 см/c², a₁ = 2 см/c².

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V²_x+V²_y. Получим

и .

При t₁=1 c a_1t= 1,4 см/с².

Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1t, получим, что при t₁= 1 а _1n = 1,43 см/с².

Радиус кривизны траектории r = V²/a_n. Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c r₁ =5,59 см.

Дата добавления: 2015-07-08