Решение задачи

Этап 1. Выделение методом сечений реакций опор и точек расположения равнодействующих распределенных нагрузок

Рис. 2

Этап 2. Составление уравнений равновесия балки и расчет реакций опор

1) Условие равенства нулю суммы моментов нагрузок справа от врезанного шарнира для части балки

(Верхняя фигурная скобка выделяет равнодействующую постоянной части для нагрузки в виде трапеции, нижняя – линейно изменяющейся части, изображаемых соответственно прямоугольником и треугольником. Точки приложения равнодействующих выделены на рисунке жирными точками и лежат в центрах тяжести соответственно прямоугольника и треугольника, посредине и на 1/3 основания этих фигур. С учетом их положения определяются плечи равнодействующих при применении теоремы Пуансо статики курса теоретической механики для распределенной по трапеции нагрузке. Приложение самих равнодействующих запрещено, так как в сопротивлении материалов запрещается переносить силу в точку, отличную от точки ее приложения в отличие от теоретической механики.)

Отсюда получаем R_C,y= - 7/3 ql, немедленно использующуюся в последующих уравнениях равновесия.

2) Условие равновесия моментов нагрузок для всей балки относительно опоры А

(фигурными скобками выделены моменты от равнодействующих распределенных нагрузок)

Отсюда получаем , также немедленно использующуюся в последующих уравнениях равновесия.

3) условие равновесия сил в направлении, перпендикулярном оси бруса:

.

Отсюда получаем .

Этап 3. Проверка правильности расчета реакций опор.

Этап 4. Назначение расчетных сечений и участков бруса

Рис. 3

Этап 5. Расчет ординат эпюры поперечных сил Q_y(x)

Рис. 4

(ЗАПОМНИТЬ:

1) НА УЧАСТКЕ ПРЯМОГО БРУСА без распределенной нагрузки НЕ МОЖЕТ БЫТЬ изменения поперечной силы;

2) НА УЧАСТКЕ ПРЯМОГО БРУСА с распределенной нагрузкой изменение поперечной силы равно равнодействующей распределенной нагрузки на участке;

3) НА УЧАСТКЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО БРУСА изменение поперечной силы может быть и без приложения распределенной нагрузки на участке из-за изменения геометрии оси бруса и положения триедра главных центральных осей сечений бруса)

Этап 6. Построение эпюры Q_y(x), немедленно использующееся при построении функций Q_y(x) и эпюры изгибающих моментов M_z(x).

Рис. 5

Этап 7. Определение функций поперечных сил Q_y(x) на расчетных участках балки

Рис. 6

.

(на первых четырех участках использовано правило положительных знаков для сил ЛЕВОЙ отсеченной части, на пятом участке – для ПРАВОЙ отсеченной части)

Этап 8. Расчет ординат эпюры изгибающих моментов M_z(x)

Рис. 7

(на участках бруса, без распределенной нагрузки или с постоянной распределенной нагрузкой изменение изгибающего момента вычисляется по площади соответствующей эпюры поперечных сил по участкам балки; на участках с линейной и более сложно изменяющейся распределенной нагрузкой приходится использовать либо метод сечений, либо МНП)

Этап 9. Определение функций изгибающих моментов M_z(x) на расчетных участках бруса с

использованием построенной эпюры Q_y(x) и МНП

Рис. 8

(точками выделены точки расположения равнодействующих распределенных нагрузок на локальных участках длиной х, то есть центры тяжести соответствующих прямоугольника и треугольника)

.

(На первых четырех участках использовано правило положительных знаков для моментов нагрузок ЛЕВОЙ отсеченной части, на пятом участке – для ПРАВОЙ отсеченной части. На участках со 2 по 4 фигурными скобками выделены значения моментов в начале этих участков, вычисленные по их значениям в конце предыдущих участков).

Этап 10. Построение эпюр ВСФ

Рис.9

ЗАМЕЧАНИЯ к решению задачи:

1) В данной задаче рассмотрена наиболее сложная функций распределенной нагрузки для классических задач сопротивления материалов: произвольная линейная функция. Продемонстрированный методический прием определения для такой функции внутренних силовых факторов является общим для любых задач: как растяжения-сжатия или кручения, так и изгиба. Последовательность действий такова:

- вводится сечение произвольного положения на участке нагрузки,

- в этом сечении находится текущее значение распределенной нагрузки математически общим приемом нахождения констант произвольной линейной функции, подобием или подбором значение распределенной нагрузки,

- на отсеченной части участка действия нагрузки выделяется постоянная (графически – прямоугольник в составе эпюры распределенной нагрузки) и переменная часть,

- определяются координаты центров тяжестей графического отображения двух выделенных компонент распределенной нагрузки,

- равнодействующие выделенных компонент определяются площадями выделенных конфигураций эпюры нагрузки, а центры тяжестей являются по теореме Вариньона теоретической механики точками приложения этих равнодействующих.

По сути, к сопротивлению материалов особенности учета произвольной линейной распределенной нагрузки не имеют никакого отношения, полностью вписываясь в предметику раздела статики теоретической механики во всем, кроме одного: в отличие от теоретической механики в сопротивлении материалов категорически запрещается прикладывать равнодействующие компонент в точках их приложения по положениям теоретической механики. Причина в том, что в силу специфики предмета в сопротивлении материалов силу нельзя переносить из одной точки в другую из-за деформируемости объектов сопротивления материалов.

2) Для обучающихся, освоивших принципиальную необходимость выделения расчетных сечений и участков во всех задачах сопротивления материалов как неотъемлемую принадлежность формирования совокупности кусочных локальных аналитических функций описания состояния любых деформируемых элементов систем, допускается, начиная с изгиба, не выделять расчетные сечения и участки.

3) При применении метода сечений к опорам балки не имеет никакого значения выбор предполагаемых направлений реакций опор.

4) Уравнения равновесия части балки составляются только для балок с врезанным шарниром. Причем для величин реакций балки не имеет никакого значения, какая по отношению к врезанному шарниру (левая или правая) часть балки используется. Поэтому рекомендуется для балки без жесткого защемления использовать ту часть балки, для которой проще составляются условия равновесия части балки и формируется уравнение всего с одной неизвестной реакцией опор. Для балки с жестким защемлением при наличии в ней, кроме того, врезанного шарнира и иных опор нельзя по теоремам теоретической механики оставлять это защемление в составе той части балки, для которой составляется дополнительное уравнение равновесия.

5) При вычислении ординат эпюр в начале или конце расчетных участков балки необходимо структурно выделять слагаемые, связанные с изменениями ординат эпюр в связи с действием распределенной на участке нагрузки или сосредоточенных внешних нагрузок в сечениях балки на границе расчетных участков. Рекомендуется эпюры строить в совокупности локальных систем правых координат (то есть, слева направо вдоль оси балки), используемых по умолчанию, так как при этом естественнее и проще использование геометрических смыслов производных и интегралов из математического анализа. По сути, при этом негласно формируется рекуррентный способ построения эпюр, основанный на комбинации метода сечений и метода начальных параметров с максимальным использованием геометрических смыслов математических операций. Именно такая комплексность и гибкость в сочетании с прагматизмом выделяет логику сопротивления материалов как единственную в своем роде для формирования российского инженера.

6) Во избежание нерациональных действий или действий, неизменно ведущих к ошибкам для большинства, при решении задач ЗАПРЕЩАЕТСЯ:

1. выделять методом сечений и находить реакции опор для жесткого защемления, так как эти реакции автоматически будут определены в процессе построения эпюр, а наличие указанной опоры обычно ничем не мешает применению метода сечений для расчета внутренних силовых факторов в любом сечении балки;

2. изменять порядок уравнений расчета реакций опор балки, так как он связан с построением системы алгебраических уравнений с треугольно структурой матрицы коэффициентов;

3. даже в черновиках расчетной работы применять в полном объеме метод сечений во врезанном шарнире и выделять отдельно с его помощью отсеченную часть балки, так как обычно обучающийся плохо владеет совокупностью правил положительных знаков сопротивления материалов и III законом Ньютона;

4. прикладывать пару сил непосредственно во врезанном шарнире, так как по его определению при таком приложении нагрузки немедленно начнется вращение шарнира, не имеющего никакой жесткости для восприятия пары сил. Даже при расчетах несущей способности бруса во втором семестре, когда врезанный шарнир имеет жесткость, определяемую по особым методикам, в сопротивлении материалов никогда не прикладывают пары сил непосредственно во врезанных шарнирах. При ошибках данных обучаемому расчетных схем необходимо пару сил сместить на бесконечно малое расстояние влево или вправо от заданного врезанного шарнира (результат, конечно, будет разным).

5. переходить к построению эпюр без проверки правильности расчета реакций опор балок, так как вся работа по построению эпюр балок может оказаться не нужной в силу ошибочности исходных данных по внешним активным нагрузкам и реакциям опор;

6. вычислять в чистовом отчете о расчетной работе без надобности функции внутрен-

них силовых факторов. Они должны быть вычислены только при изменении знака

перерезывающей силы на участке балки, так как это связано с экстремумом изгибающего

момента в сечении с нулевой поперечной силой.

З АДАНИЕ К СЕМИНАРУ ПО ДЗ № 1

Выполнить В ТЕЧЕНИЕ НЕДЕЛИ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов ДЛЯ ВСЕХ семи балок и представить на контроль только эпюры пункта 10 ЧЕРЕЗ НЕДЕЛЮ ПОСЛЕ ВЫДАЧИ РТМ.

Отчет подготовить на бумаге формата А4 с титульным листом по образцу.

Дата добавления: 2015-07-10