Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке

Рассмотрим общий случай, когда жидкость находится в резер­вуаре, на свободную поверхность которой действует внешнее давление р_атм. В стенке резервуара имеется малое отверстие круглой формы, расположенное на достаточно большой глубине Н от свободной поверхности и на достаточном удалении от других стенок и днища (см. рис. 1); происходящее в этом слу­чае истечение жидкости будет совершенным и полным.

Запишем уравнение Бернулли, характеризующее движение жид­кости, в двух сечениях: в сечении 0-0, взятом на свободной по­верхности, где скорость движения жидкости ничтожно мала и ее можно принять равной нулю по сравнению со скоростью в отверстии, и в сечении 1-1, проведенном через центр сжатого сечения струи и совпадающем с плоскостью сравнения:

,

где x - коэффициент сопротивления отверстия; z₁ =H; z₂ = 0; р₁ = р₂ = р_атм;
v₁ = 0; v₂ = v; a₁ = a₂ = a.

Проведя преобразования данного уравнения, получим:

,

откуда определим скорость истечения:

, (2)

где j - коэффициент скорости - безразмерная величина, характе­ризующая уменьшение скорости по сравнению с теоретической в результате потерь напора на преодоление сопротивления в отверстии.

Принимая во внимание, что при турбулентном режиме a= 1, получим:

, (3)

откуда можно выразить коэффициент сопротивления x через коэф­фициент скорости:

.

Если жидкость идеальная, x= 0; следовательно, j = 1. Тогда из формулы (2) получим теоретическую скорость истечения:

. (4)

Уравнение (4) носит название формулы Торричелли - по имени выдающегося итальянского физика средневековья, впервые установившего эту зависимость. Отметим, что эта формула тождест­венна с известной из теоретической механики и физики формулой для определения скорости свободного падения тела. Следовательно, скорость истечения идеальной жидкости из отверстия сосуда с пос­тоянным уровнем Н и при атмосферном давлении равна скорости свободного падения твердого тела при начальной скорости, равной нулю, с высоты, соответствующей высоте напора жидкости.

Сравнивая уравнения (2) и (4), можно установить, что коэффициент скорости есть отношение действительной скорости исте­чения к теоретической:

. (5)

Используя известные нам зависимости, определим расход жидкости при истечении из отверстия:

. (6)

Произведение коэффициентов сжатия e и скорости j пред­ставляет собой коэффициент расхода, обозначаемый m:

m = ej. (7)

Следовательно, формула (6) может быть представлена как

. (8)

Отсюда коэффициент расхода можно представить как отношение действительного расхода Q к теоретическому Q_т:

. (9)

Коэффициенты e, j и m для малого отверстия в тон­кой стенке зависят от значения числа Рейнольдса Re, которое можно определить по теоретической скорости истечения:

. (10)

При больших числах Рейнольдса, т. е. при значениях Rе > 10⁴, коэффициенты истечения для малого отверстия можно принять:

e= 0,62 - 0,64; j= 0,97; m = 0,60 - 0,62; x= 0,06.

В инженерной практике часто приходится сталкиваться с исте­чением жидкости не в атмосферу, а в пространство, заполненное этой же жидкостью, уровень которой расположен выше отверстия. Истечение такого характера называется истечением под уровень или истечением через затопленное отверстие. Такие случаи имеют место при выпуске воды через щитовые окна шлюзов или через затворы плотины.

Рассмотрим истечение из малого затопленного отверстия под уровень жидкости при постоянном напоре (см. рис. 2). Уровни в резервуарах с обеих сторон стенки постоянны, а давление на свободные поверхности равно атмосферному. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений, совпадающих со свободными поверх­ностями жидкостей по обе стороны стенки. Плоскость сравнения проведем через ось отверстия. Учитывая, что скорости жидкости на свободных поверхностях очень малы, примем их равными нулю. Тог­да уравнение Бернулли будет иметь вид:

,

где - суммарные потери напора: на преодоление сопротивления в отверстии ;на расширение элементарных струек и вихреобразование после отверстия во втором резервуаре .

Подставив значение суммарных потерь и переписав уравнение Бернулли относительно z с учетом, что р₁ = р₂ = р_атм, получим

,

откуда значение скорости истечения под уровень будет равно:

(11)

или

(12)

Как и при истечении жидкости в атмосферу, расход можно вы­разить через площадь струи S_с = S_оe и скорость v:

. (13)

Простое сравнение показывает, что формулы для определения скорости и расхода при истечении жидкости через затопленное отверстие аналогичны формулам, полученным ранее для слу­чая истечения жидкости в атмосферу. Отличие состоит в том, что в выражениях (12) и (13) вместо напора H учитывает­ся разность уровней z.

Дата добавления: 2015-07-10