Работа 5. Деформации растяжения и изгиба

Задание 1: определить модуль Юнга стали с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5%.

Оборудование и принадлежности: Установка для проведения измерений, четыре груза массой по 0,4 кг, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Стальная проволока АВ растягивается под действием переменных грузов Р (рис. 1). Длина проволоки измеряется линейкой D, ее диаметр d - микрометром, абсолютное удлинение Dl -индикатором С.

Задание 2: определить модуль Юнга дерева с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: Установка для проведения измерений, набор стержней и грузов, штангенциркуль, линейка.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Исследуемый образец (деревянный брусок) С располагается на опорах А и В вертикального оптиметра (рис. 2). К середине бруска подвешиваются грузы Р. При изгибе бруска измерительный штифт D оптиметра перемещается вниз. При этом в поле зрения окуляра O происходит смещение шкалы N относительно метки К, что позволяет определить стрелу прогиба h. Цена деления шкалы окуляра оптиметра указана на установке.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Все твердые тела под действием сил деформируются, т.е. изменяют объем и форму. Различаются деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения (последние две сводятся к первым).

Если деформации исчезают после прекращения действия приложенных сил, то они называются упругими. Деформации, частично сохраняющиеся после снятия нагрузки, называются пластическими. Разделение деформаций на упругие и пластические условно; Строго говоря, после любой нагрузки. сохраняются остаточные деформации. Но если они пренебрежимо малы, то деформации считаются упругими.

Для упругих тел между действующими силами и вызванными ими деформациями существует однозначная зависимость (при пластических деформациях такой однозначности нет). Как показывает опыт, малые упругие деформации прямо пропорциональны вызвавшим их силам. Если тело находится в равновесии, то последние уравновешиваются упругими силами, возникающими в теле в результате деформации. Следовательно, упругие силы оказываются прямо пропорциональными деформациям. Это утверждение носит название закона Гука. Закон Гука является приближенными, но для многих тел и сред существуют области малых упругих деформаций (разные в каждом случае), в которых степень приближения практически вполне достаточная.

Рассмотрим деформацию растяжения на примере одного изотропного образца, например проволоки. Пусть верхний конец проволоки закреплен, а к нижнему подвешиваются различные грузы Р = mg. В качестве меры деформации растяжения используют абсолютное удлинение Dl = l – l₀ или относительное удлинение e = Dl/l₀, где l₀ - начальная длина проволоки, а l - ее длина при нагрузке. Относительное удлинение e рассчитывается на единицу начальной длины и поэтому, в отличие от абсолютного удлинения Dl, от длины проволоки не зависит.

Выделим мысленно произвольный элемент проволоки (рис. 3). Из условия равновесия следует, что со стороны соседних частей проволоки на концы рассматриваемого участка действуют равные по величине, но противоположно направленные силы F. Это силы упругости, возникшие в проволоке в результате ее деформации. Если деформация однородная, то каждая из сил равномерно распределена по поверхности поперечного сечения проволоки S. Величина

s = F/S (1)

определяет упругую силу, действующую на единицу площадки, перпендикулярной направлению силы. Она называется нормальным напряжением. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любом поперечном сечении образца. При неоднородной деформации для определения нормального напряжения

s = dF/dS (2)

площадку dS, перпендикулярную к силе dF, следует выбирать элементарно малой, в пределах которой деформацию можно приближенно считать однородной. В разных точках неоднородно деформированного образца напряжение s разное.

В пределах упругих деформаций нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению (закон Гука для деформации растяжения):

s = eE (3)

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости (модулем Юнга) материала образца. Модуль продольной упругости численно равен нормальному напряжению, которое возникло бы в теле при его относительном удлинении, равном единице, если бы деформация оставалась упругой. При этом длина тела увеличилась бы в два раза.

Зависимость нормального напряжения s о от относительного удлинения e изображена на рисунке 4. При малых деформациях (от 0 до e_n) выполняется закон Гука; это практически линейный участок 0a. Максимальное напряжение s_n, соответствующее этому участку, называется пределом пропорциональности. Предел упругости s_у - это максимальное напряжение, при котором еще сохраняются упругие свойства тела. На участке ab деформация нелинейная, но еще упругая (обычно этот участок очень малый: s_у больше s_n на доли процента.) При напряжениях, больших s_у, деформация становится пластической: в теле после снятия нагрузки наблюдается остаточная деформация e₀. При напряжениях s_T удлинение нарастает практически без увеличения нагрузки. Это - область текучести материала (участок cd). На участке de происходит некоторое упрочение образца. После достижения максимального значения s_проч - предела прочности - напряжение резко уменьшается и образец разрушается (точка f на графике).

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ.ЮНГА ПРОВОЛОКИ

ПО ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ

Теория метода. Проволока диаметром поперечного сечения d, начальной длины l_{0 ,} изготовленная из исследуемого материала, растягивается под действием груза P = mg. Закон Гука (3) в этом случае можно представить в виде

(4)

где коэффициент пропорциональности a - практически постоянная для данного образца величина.

Если, изменяя массу нагрузки Р, каждый раз измерять абсолютное удлинение проволоки Dl и построить график Dl = f(m), то можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика D(Dl)/ Dm легко определить коэффициент пропорциональности a в (4) и рассчитать модуль продольной упругости (модуль Юнга) проволоки:

(5)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок Dm и соответствующий ему интервал абсолютных удлинений D(Dl) на графике следует выбирать по возможности большими (но в пределах пропорциональности)

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ПРОДОЛЬНОЙ УПРУГОСТИ

ПО ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

Теория метода. Если прямоугольный стержень свободно положить на две опоры А и В и к его середине подвесить груз P = mg, то стержень изогнется (рис. 5).

Деформация изгиба характеризуется стрелой прогиба h, которая, как показывают расчеты (см. [5]), для однородного изотропного стержня определяется соотношением (закон Гука)

(6)

где L - расстояние между опорами; a - ширина стержня; b - его высота; Е - модуль упругости материала стержня. Коэффициент пропорциональности b для данного образца - практически постоянная величина. Если изменять массу нагрузки Р, то изменяется и стрела прогиба h. Построив график h = h(m), можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика Dh/Dm легко определить коэффициент пропорциональности b в (6) и рассчитать модуль продольной упругости прямоугольного стержня:

(7)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок Dm и соответствующий ему интервал стрелы прогиба Dh на графике следует выбирать по возможности большим (но в пределах пропорциональности).

Дата добавления: 2015-07-10