Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M _о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R _x = R _y = R _z = 0 и M _x = M _y = M _z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям:

(3.9)

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

3.14 Задачи на равновесие тела под действием пространст­венной системы сил

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекоменду­ется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 3.5

Рама АВ (рис.3.26) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС. На краю рамы находится груз весом Р. Опреде­лить реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.3.26

Рассмотрим равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р. Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Следует составлять такие уравнения статики, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

Рекомендуется составлять уравнения моментов относительно трёх точек – точек пересечения линий действия неизвестных сил.

В данной задаче это:

точка А, где приложены неизвестные и ;

точка С, где пересекаются линии действия неизвестных сил и ;

точка D – точка пересечения линий действия сил и .

Заме­чание:

1. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится сложно, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы по осям на две составляющие: в данной задаче разложим силу на и (рис.3.26) такие, что модули их

2. Уравнение проекций всех сил на ось х, в которое входят два неизвестных (Х_А, S), можно использовать как проверочное уравнение.

Составляем уравнения равновесия: – Х_А – S cosα = 0;

Из второго уравнения находим:

.

Из третьего:

Из первого:

Так как в результате вычислений выяснилось, что S < 0, то стержень ВС будет сжат.

Пример 3.6

Прямоугольная полка весом Р удерживается в гори­зонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD, прикреплён­ными к стене в точке Е. Стержни одинаковой длины, Определить усилия в стержнях и ре­акции петель А и В.

Рис.3.27

Рассмотрим равновесие полки. Строим расчётную схему (рис.3.27). Реакции петель разложим на составляющие по осям Y, Z: , и , .

Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в про­странстве.

Можем составить 6 уравнений статики. Неизвестных - тоже шесть.

Составляем уравнения таким образом, чтобы в каждое из входило меньшее число неизвестных:

Из уравнения (1):

. Из (4):

Из (3):

Из (5):

Следовательно:

Из уравнения (6) при условии (1): S ₁ = S ₂, следует, что и Z_A = Z_B. Тогда из (2):

Из треугольника D ОЕС, где:

, следует, что:

Поэтому:

,

Составим проверочное уравнения для найденных значений:

Задача решена правильно. 55

Дата добавления: 2015-07-10