Пример решения задачи

Пример 1

Для заданной двухопорной балки (рис. 4 а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять а = 1 м, q = 10 кН/м, Р = 1,5qа, m = 2,25qа², а1 = 3а, а2 = 1,5а.

Из условия прочности подобрать диаметр D сплошного круглого сечения, размеры в и h прямоугольного сечения с отношением сторон h/в = 1,5 и сечение в виде двух одинаковых не связанных между собой швеллеров, поставленных вплотную друг к другу (см. рис. 4 б). Установить какое сечение рациональнее, сравнив для них коэффициенты экономичности . Принять материал – сталь Ст. 3, предел текучести МПа, а коэффициент запаса прочности n = 1,5.

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется провести проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4) проектный расчет ведется по соотношению

.

а)

б

Рис 4

Для определения изгибающего момента в опасном сечении балки (то есть наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы Qу и изгибающего момента М_х.

Определение реакций опор

Горизонтальная составляющая для шарнирно-неподвижной опоры Н = 0, так как нет сил, наклонных или параллельных оси z. Для определения реакций RА и RВ записываем два уравнения равновесия. Уравнение моментов всех сил относительно точки А

Откуда

Уравнение моментов всех сил относительно точки В

.

Откуда

Обе реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным.

Для проверки правильности определения реакций опор спроектируем все внешние силы на вертикальную ось Y:

.

Уравнение удовлетворяется тождественно. Значит реакции опор определены верно.

Построение эпюр поперечных сил
и изгибающих моментов

Разбиваем балку на два участка (см. рис. 4 а). Границами участков являются сечения А, С, В. Положения произвольных поперечных сечений на участках характеризуются соответствующими координатами Z1 и Z2. Записываем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, используя (1, 2) и правила знаков.

Участок I:

Координата Z1 входит в выражение в первой степени ( - линейная функция ). Поэтому для построения эпюры достаточно определить значения ординат на границах участков:

, ; , кН×м.

Участок 2: , ,

( - линейная функция ).

= 0, = R₁=10 кН;

=а, = R_А-qа₁ = 10-30 = -20 кН.

Так как поперечная сила на втором участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координаты через ), обращается в нуль (см. рис. 4 а), то в соответствии с дифференциальными зависимостями (3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремум. Приравнивая выражение для на втором участке нулю, определим координату сечения :

м.

Строим эпюру , располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 4, а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии, (она проводится параллельно оси балки), а отрицательные – ниже. Уравнение на втором участке

.

Изгибающий момент является квадратичной функцией . Для построения параболы необходимо определить как минимум три значения изгибающего момента, два из которых определяем на границах участка:

кН·м;

, кН·м.

Подставляя значение м в выражении на втором участке, определим экстремальное (в нашем случае максимальное) значение изгибающего момента на этом участке:

кН·м.

Найденное значение изгибающего момента будет третьим значением ординаты эпюры для построения параболы.

Строим эпюру изгибающих моментов, располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 4 а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии, отрицательные –ниже. Используя дифференциальные зависимости (3) и следствия из них, проводим проверку правильности построения эпюр. Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечении кНм.

Подбор размеров поперечного сечения балки

Подбор сечения балки ведем из условия прочности (4). В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

Для круглого сечения

Площадь и момент сопротивления круглого сечения

,

Коэффициент экономичности круглого сечения

Для прямоугольного сечения осевой момент сопротивления

. Учитывая, что h=1.5b, получим

, откуда

.

Принимаем b=8см, тогда h=1,5 b=1,5 8=12 cм. Площадь и осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

.

Коэффициент экономичности прямоугольного сечения

.

Если сечение состоит из двух швеллеров, то расчетный осевой момент сопротивления для одного швеллера

см .

Из таблиц сортамента (ГОСТ 8240-89) по расчетному значению осевого момента сопротивления выбираем швеллер №16, для которого

Коэффициент экономичности для составного сечения

.

Так как > > , то рациональным является сечение, состоящее из двух швеллеров.

Пример 2

Для двухопорной балки, изображенной на рис 5 принять 1 м; 10 кН/м. Требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил. Вычислить все характерные ординаты для этих эпюр.

2. Построить эпюры изгибающих моментов и из условия прочности подобрать размеры указанных ниже сечений приняв в качестве материала - сталь Ст. 3 с пределом текучести 225 МПа. Коэффициент запаса прочности = 1,5.

3. Подобрать диаметр сплошного круглого сечения, размеры и прямоугольного сечения с отношением сторон 1,5 и сечение в виде двух одинаковых, не связанных между собою швеллеров, поставленных вплотную друг к другу. Установить, какое сечение рациональнее, сравнив коэффициенты экономичности сечений .

Установить, какое сечение рациональнее, сравнив коэффициенты экономичности сечений , где - момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси; - площадь сечения.

Рис. 5

Решение

Двухопорная балка, показанная на рис. 5, является статически определимой системой, поэтому можно найти реакции ее связей методами теоретической механики. Для этого заменим действие на балку имеющихся связей неизвестными реакциями (см. рис. 5).

Составим уравнение равновесия моментов относительно точки А для определения реакции RB

,

, .

Реакцию RA найдем из уравнения равновесия моментов сил относительно точки В

,

, .

Для проверки правильности решения используем уравнение равновесия сил в проекциях на ось у:

,

, .

В рассматриваемой балке можно выделить три участка непрерывного изменения поперечных сил и изгибающих моментов. Определим нормальные силы и изгибающие моменты для этих участков, используя метод сечений.

Рис. 6

Участок 1: . Как видно из рис. 6 а, на этом участке к балке не приложено никаких сил или моментов, поэтому поперечные силы и изгибающие моменты на всем участке равны нулю: ,

Участок 2: (см. рис. 6 б).

Поперечная сила ,

,

.

Поскольку поперечная сила на втором участке меняет знак, на этом участке находится экстремум изгибающего момента. Для его определения нужно найти координату точки, соответствующей , то есть решить уравнение

.

Отсюда следует, что .

При определении учтено, что распределенная нагрузка, направленная противоположно оси у считается отрицательной.

Изгибающий момент

,

, ,

.

Участок 3: (см. рис. 6 г).

Для расчета третьего участка распределенную нагрузку, приложенную на участке 2 удобно представить в виде равнодействующей с модулем приложенной в точке, удаленной от рассматриваемого сечения на расстояние .

В результате, поперечная сила на третьем участке будет равна

.

Изгибающий момент на этом участке определяется реакциями , равнодействующей R с плечом и моментом m2:

,

, .

Для проверки используем левую отсеченную часть балки, на которую действует только сила (см. рис. 6 в). Поперечная сила на третьем участке будет равна

.

Изгибающий момент на этом участке определяется только силой , плечо которой относительно сечения балки равно :

, , .

Как видно из последних результатов, рациональный выбор рассматриваемой части балки позволяет значительно упростить определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на рис. 5. Из них видно, что максимальное значение изгибающего момента 5,64 10⁷ Нм достигается в опоре А. Исходя из условий прочности, определим размеры указанных сечений. Момент сопротивления сечения

.

Диаметр сплошного круглого сечения

.

Площадь сечения

.

Для прямоугольного сечения

,

.

Тогда 150 мм и площадь сечения

100*150=15000 мм².

Для сечения в виде двух швеллеров момент сопротивления каждого из двух одинаковых швеллеров составит

,

что соответствует профилю №22 с площадью сечения 26,7 см² и моментом сопротивления см³. Для этих трех случаев коэффициенты экономичности составят соответственно:

,

,

.

Следовательно, из трех рассмотренных сечений рациональнее использовать сечение, состоящее из двух рядом расположенных швеллеров.

Дата добавления: 2015-07-10