Оптическая Δразность хода световыхлучей l1, l2 длинами с учётом относительного

n показателя преломления среды, в которой они распространяются, по аналогии с (11.29) имеет следующий вид: n(l₂ - l₁) = Δ. (10.35)

Из геометрии двух прямоугольных треугольников с l₁ и l₂ гипотенузами, (x - d/2) и (x + d/2) катетами с учётом следующего приблизительного равенства: l₁ + l₂ ≈ 2l. (10.36) приходим к следующему выражению связи геометрических параметров, изображённых на (рис. 10.1.4) схеме: l₂² = l² + (z + d/2)²

- l₁² = l² + (z - d/2)² ↔ (l₂ + l₁)(l₂ - l₁) = 2zd. (10.37) Подставляем (10.36) в (10.37) и получаем следующее приблизительное выражение, связывающее геометрические параметры на (рис. 10.1.0.4) схеме: (l₂ - l₁) ≈ zd/l. (10.38) Умножаем левую и правую части (11.38) на n показательпреломления среды, в которой распространяются световые лучис l₁, l₂ длинами, вследствие чего получаем следующее выражение: n(l₂ - l₁) ≈ nzd/l. (10.39) Подставляем (10.35) оптическую Δ разность хода световых лучей с l₁, l₂ длинами в (10.39) и получаем её следующую величину для M точки на Э экране, находящейся на z расстоянии от O центра: Δ ≈ nzd/l. (10.40) Для расчёта z_max координат, где будут наблюдаться интерференционные максимумы воспользуемся условием их существования, для чего приравняем (11.33) и (11.40), вследствие чего для расчёта z_max координат получаем следующее выражение:

nz_maxd/l = ± mλ₀ ↔ z_max = ± mlλ₀/nd ↔ z_max = ± mlλ/d, (10.41) где m = 0, 1, 2, ….; λ = λ₀/n - длина световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления, в которой распространяются световые лучис l₁, l₂ длинами.

Для расчёта z_min координат, где будут наблюдаться интерференционные минимумы воспользуемся условием их существования, для чего приравняем (10.34) и (10.40), вследствие чего для расчёта z_min координат получаем следующее выражение:

nz_min d/l = ± (m + 1/2)λ₀ ↔ z_min = ± (m + 1/2)l λ₀/nd ↔ z_min = ± (m + 1/2)lλ/d, (10.42) где m = 0, 1, 2, ….; λ = λ₀/n - длина световой волны в среде с n показателем преломления, в которой распространяются световые лучис l₁, l₂ длинами. Расстояние Δz_р между соседними интерференционными максимумами (рис. 10.1.0.4), где I интенсивность световой волны максимальна, например, между 1max (m = 1) интерференционным максимумом первого порядка, т.е. в котором оптическая Δ (10.40) разность хода световых лучейс l₁, l₂ длинами составляет одну длину волны λ = λ₀/n в среде с n показателем преломления, и

2max (m = 2) интерференционным максимумомвторого порядка, т.е. в котором оптическая Δ (10.40) разность хода световых лучейс l₁, l₂ длинами составляет две длины волны λ = λ₀/n в среде с

n показателем преломления с учётом (10.41), имеет следующий вид: Δz_р = z_{2 max} - z_{1 max} = 2lλ/d - lλ/d = lλ/d, (10.43) где Δz_р называют расстоянием между интерференционными полосами, которое не зависит от порядка соседних интерференционных максимумов. Для отчётливой интерференционной картины необходимо, чтобы d расстояние между S₁, S₂ источниками (рис. 10.1.0.4) световых волн было много меньше l расстояния от этих источников световых волн до Э экрана, где наблюдается интерференционная картина.

Расстояние Δz_ш между соседними интерференционными минимумами (рис. 10.1.0.4), где I интенсивность световой волны минимальна, например, между 1max (m = 1) интерференционным минимумом первого порядка, т.е. в котором оптическая Δ (10.40) разность хода световых лучейс l₁, l₂ длинами составляет половину длины волны λ/2 = λ₀/2n в среде с n показателем преломления, и 2max (m = 2) интерференционным минимумомвторого порядка, т.е. в котором оптическая (11.40) Δ разность хода световых лучейс l₁, l₂ длинами составляет три половины длины волны

3λ/2 = 3λ₀ /2n в среде с n показателем преломления с учётом (10.42), имеет следующий вид: Δz_ш = z_2min - z_{1 min} = 3lλ/2d - lλ/2d = lλ/d, (10.44) где Δz_ш называют шириной интерференционных полос, которое не зависит от порядка соседних интерференционных минимумов. Из сравнения (10.43) и (10.44) следует, что расстояние Δz_р между интерференционными полосами равно ширине Δz_ш интерференционных полос, вследствие чего для расчёта расстояние Δz_р между интерференционными полосами и ширины Δz_ш интерференционных полос получаем следующее выражение: Δz_р = Δz_ш = lλ/d. (10.45)

Пространственно-временная когерентность световых волн: длина, время и ширина когерентности световых волн

Источники (рис. 10.1.0.5) S_λ и S_λ+Δλ - это две тонкие нити, находящиеся в O начале координат и перпендикулярные плоскости чертежа, от которых в рассматриваемую M точку на Э экране распространяются световые лучи. Световые волны с λ, λ+Δλ длинами световых волн в однородной изотропной среде с n показателем преломления от соответственно S_λ, S_λ+Δλ источников являются цилиндрическими, т.е. плоскости их равных фаз - это окружности с центрами S_λ, S_λ+Δλ точках.

Каждый S_λ, S_λ+Δλ источник образует (рис. 10.1.0.5) на Э экране интерференционную картину со следующими значениями Δz_λ, Δz_λ+Δλ (10.44) ширины интерференционных полос:

Δz_λ = lλ/d; Δz_λ+Δλ = l(λ+Δλ) /d, (10.46) где λ+Δλ > λ - длины световых волн в однородной изотропной среде с n показателем преломления от соответственно S_λ, S_λ+Δλ источников; d - расстояние между узкими щелями в ДФ диафрагме, находящейся на l расстоянии от Э экрана.

Оптическая Δ (10.40) разность хода в рассматриваемой M точке на Э экране одинакова для интерференционного минимума (m+1)_min порядка с λ длиной световой волны и интерференционного максимума m_max порядка с λ+Δλ длиной световой волны, вследствие чего (10.41) для расчёта z_m+1 = z_m координат получаем следующее выражение:

z_m+1 = ± (m+1)lλ/d; z_m = ± m(λ+Δλ)lλ/d ↔ ± (m+1)lλ/d ≈ ± m(λ+Δλ)lλ/d ↔ λ ≈ mΔλ, (10.47)

где λ /Δλ = m - степень монохроматичности света; в порядках m > (m+1)_min = m_max интерференционные максимумы от световых лучейс λ+Δλ длиной световой волны находятся на

Э экране в z координатах, где существуют интерференционные максимумы от световых лучейс

λ длиной световой волны, и интерференционная картина исчезает.

На рис. 10.1.0.5 приведён пример, когда интерференционные максимумы, изображённые красной штриховкой, отсветовыхлучейс λ+Δλ длиной световой волны перекрывают интерференционные минимумы, изображённые зелёной штриховкой, отсветовыхлучейс λ длиной световой волны, вследствие чего интерференционнаякартина исчезает, если m ≥ (m+1) _min = m_max. Это означает, что для примерана рис. 10.1.0.5 световые волны от S_λ, S_λ+Δλ источников, от которых распространяются световыелучи,

отличающиеся друг от друга на Δλ длину световой волны, в данной интерференционной системе становятся некогерентными, если m ≥ (m+1) _min = m_max. Световые волны от S_λ, S_λ+Δλ источников, от которых распространяются световые лучи, отличающиеся друг от друга на Δλ длину, в данной интерференционной системе будут когерентными дотехпор, пока порядок m интерференционного максимума будет меньше 3, т.е. при значениях порядка m интерференционного максимума, равного m = 0, ±1, ±2.

Оптическая Δ (10.40) разность хода в (рис. 10.1.0.5) рассматриваемой M точке на

Э экране световых лучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система становится некогерентной, имеет с учётом(10.47) следующий вид:

Δ= m_maxλ≈ λ²/Δλ ↔ l_ког ≈ λ²/Δλ, (10.48) где l_ког - длина когерентности световых лучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система при выполнении условия Δ< l_ког является когерентной. Согласно (10.48) по заданной l_ког длине когерентности рассчитывают

m_max ≈ λ /Δλ ≈ l_ког/λ степень монохроматичности света, чтобы в порядке m< m_max интерференционная картина была видна отчётливо вданной интерференционной системе.

Оптическая Δ (10.40) разность хода в (рис. 10.1.0.5) рассматриваемой M точке на

Э экране световых лучейс λ, λ+Δλ длинами волн, при распространении которых данная интерференционная система является когерентной вплоть до m< m_max порядка интерференционного максимума имеет с учётом(10.48) следующий вид:

Δ< m_maxλ↔ Δ< l_ког ≈ λ²/Δλ. (10.49) В вакууме l_ког длину когерентности световой луч сменьшей λ длиной волны из всего диапазона до λ+Δλ значения этих длин волн проходит учётом её c фазовой скорости за следующее t_ког время когерентности: t_ког = l_ког/c ↔ t_ког ≈ cλ²/Δλ. (10.50)

Световые волны с длиной λ волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления (рис. 10.1.0.6) от Щ щели бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX осии s шириной по OZ оси, находящейся на l расстоянии от ДФ диафрагмы, после прохождения двух узких S₁, S₂ щелей в ДФ диафрагме, находящихся на d расстоянии друг от друга создают на

Э экране интерференционную картину.

Расстояние d между двумя узкими S₁, S₂ щелями в ДФ диафрагме, при распространении от которых световые волны становятся некогерентными, обозначают h_ког шириной когерентности световых волн в данной интерференционной системе, т.е. для определения h_ког ширины когерентности световых волн имеет место следующее выражение: h_ког ≈ d, (10.51)

где d - расстояние между двумя узкими S₁, S₂ щелями в ДФ диафрагме Щ щели,при распространении от которых световые волны становятся некогерентными.

Y

Z

Ппр.З₂. ДФ

При s ширине Щ щели, равной (рис. 10.1.0.6) величине Δz интервала (рис. 10.1.0.6) между интерференционными максимумами 0 порядка от 1, 2 световых лучей, исходящих от ds₁, ds₂ соответственно верхней и нижней границ Щ щели, будет целиком заполнен при равенстве

l расстояния от Щ щели до ДФ диафрагмы l расстоянию от ДФ диафрагмы до Э экрана интерференционными максимумами 0 порядка от остальных, находящихся между верхней и нижней границами, элементов Щ щели. Поэтому интерференционные полосы исчезнут при следующей

s ширине Щ щели, равной (рис. 10.1.0.6) величине(10.46) Δz интервала между интерференционными максимумами 0 порядка от 1, 2 световых лучей: Δz = lλ/d ↔ s = lλ/d. (10.52)

Подставляем (10.51) в (10.52) и получаем следующее приблизительное выражение, связывающее (рис. 10.1.0.7) h_ког ширину когерентности световых волн, равное d расстоянию между двумя узкими S₁, S₂ щелями в ДФ диафрагме, и s шириной Щ щели, при которой интерференционная система когерентна, т.е. при которой интерференционная картина на Э экране будет видна отчётливо:

h_ког ≈ lλ/s ↔ h_ког ≈ λ/(s/l) ↔ h_ког ≈ λ/φ,(10.53)

где φ - малая угловая ширина Щ щели относительно OY оси, проходящей на равных расстояниях от двух узких S₁, S₂ щелей в ДФ диафрагме.

Интерференция световых волн в тонких пленках

До отражения (рис. 10.1.0.8) в O₁ точке 1 световой лучпо сравнению со 2 световым лучом проходит в I среде дополнительный d оптический путь, имеющий следующий вид:

d = 2htqυ₂ sinυ₁. (10.54)Далее световой (рис. 10.1.0.8) луч в вакууме 1 отражается от поверхности среды II с

n₂ показателемпреломления, оптически более плотной, чем I среда, поэтому в O₁ точке отражения 1 световой луч меняет свою фазу на π, что эквивалентно прохождению 1 световым лучомоптического пути, равного λ₀/2 длины световой волны в вакууме. Поэтому световой 1 лучот плоского O₂K волнового фронта, пересекающего 2 лучв O₂ точке, проходит оптический l₁ путь, имеющий следующий вид: l₁ = d + λ₀/2 = 2h tqυ₂ sinυ₁ + λ₀/2. (10.55) Световой (рис. 10.1.0.5) луч 2 преломляется в O₂ точке, распространяется в II средес

n показателем преломления до основания тонкой пластины на l расстояние, после чего попадает в

O₁ точку.

Оптический (10.29) l₂ путь, который прошёл 2 световой лучот плоского O₂K волнового фронта до O₁ точки при прохождении двойного l расстояния в II средес n показателем преломления, имеет следующий вид: l₂ = 2 n₂h/cosυ₂ (10.56) Световые (рис. 10.1.0.8) лучи 1 и 2, оказавшись в O₁ точке после прохождения соответственно оптических путей l₁ (10.55) и l₂ (10.56) когерентны, а Δ оптическаяразность хода 2′ преломлённого и

1′ отражённого световых лучей с учётом (10.56) и (10.55) имеют следующий вид:

Δ = l₂ - l₁ = (2hn₂/cosυ₂) - 2htqυ₂sinυ₁ - λ₀/2. (10.57)

По закону преломления Снеллиуса (9.104) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны", считая n₁ показатель преломления I среды, равный единице, получаем следующее выражение: sinυ₁/sinυ₂ = n₂ ↔ sinυ₂ = sinυ₁/n₂,(10.58) где n₂ - показатель преломления II среды. Из тригонометрического тождестваимеем следующее выражение: n₂cosυ₂ = (n₂² - n₂²sin²υ₂)^1/2. (10.59) По закону преломления Снеллиуса (9.104) из раздела 09.0.0

" Электромагнитные волны ", считая n₁ показатель преломления I среды, равный единице, получаем следующее выражение: sinυ₁/sinυ₂ = n₂ ↔ sinυ₂ = sinυ₁/n₂,(10.60) где n₂ - показатель преломления II среды.

Из тригонометрического тождества имеем следующее выражение:

n₂cosυ₂ = (n₂² - n₂²sin²υ₂)^1/2. (10.61)

Подставляем sinυ₂ из (10.60) в (10.61) и получаем следующее выражение, связывающее

(рис. 10.1.8) υ₂ угол преломления с υ₁ углом падения 2 и 1 световых лучей:

n₂cosυ₂ = (n₂² - sin²υ₁)^1/2. (10.62)

Производим тождественные преобразования в (10.59) с учётом (10.60) и (10.62) и получаем следующее выражение, связывающее (рис. 10.1.0.8) Δ оптическуюразность хода преломлённого и отражённого 2′ и 1′ световых лучей с υ₁ углом падения 1 и 2 световых лучей, n₂ показателем преломления II среды и h толщиной тонкой пластины:

Δ = 2h[(n₂²/n₂cosυ₂) - (n₂sinυ₂sinυ₁/n₂cosυ₂)] - λ₀/2 =

= 2h[(n₂² - sin²υ₁)/(n₂² - sin²υ₁)^1/2] - λ₀/2 = 2h(n₂² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2. (10.63) Ограничения, накладываемые (10.49) пространственно - временной когерентностью

1 и 2 световых (рис. 10.1.0.8) лучей, приводят к появлению интерференции этих лучей при

h толщине пластины менее нескольких сотых миллиметров. Условие возникновения интерференционных максимумов получается приравниванием выражения(10.63) оптической Δ разности хода между преломлённым и отражённом 2′ и 1′ световыми лучами и выражения (10.33) интерференционного максимума у когерентных световых лучей с учётом только знака «+»передэтой Δ оптической разностью хода, т.к. 2 световой (рис. 10.1.0.8) лучпроходит l₂ оптический путь, всегда превышающий оптический l₁ путь, пройденный 1 световым лучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных максимумов: 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = mλ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2= (m +1/2)λ₀, (10.64)где m = 0, 1, 2…

Условие возникновения интерференционных минимумов получается приравниванием выражения(10.63) оптической Δ разности хода между преломлённым и отражённом 2′ и 1′ световыми лучами и выражения (10.34) интерференционного минимума у когерентных световых лучей с учётом только знака «+»передэтой Δ оптическойразностью хода, т.к. 2 световой (рис. 10.1.0.8) лучпроходит l₂ оптический путь, всегда превышающий оптический l₁ путь, пройденный 1 световым лучом, вследствие чего получаем следующее условие возникновения интерференционных минимумов: 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 - λ₀/2 = (m + 1/2)λ₀ ↔ 2h(n² - sin²υ₁)^1/2 = (m +1) λ₀, (10.65) где m = 0, 1, 2…

Интерференционная картина от световых волн равного наклона

Пластинку с n показателем преломленияосвещают рассеянным монохроматическимсветом, в котором имеются световыелучи с λ₀ длиной волныв вакууме самых разнообразных направлений. Световые лучи (рис. 10.1.0.9), находящиеся в плоскости рисункаи падающие параллельным пучкомна пластинку под υ₁ углом, послеотражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельныесветовые лучи (10.59), соберутся по законам геометрическойоптики в M₁ точкеслева на r₁ расстоянии от FF главной оптической

оси Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на

f расстоянииот этой Л собирающей линзы.

Световые лучи (рис. 10.1.0.9), находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на пластинку под - υ₁ углом, послеотражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельные световые лучи (10.59), соберутся по законам геометрической оптики в M₂ точке справа на r₁ расстоянии от FF главнойоптической оси

Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой

Л собирающей линзы.

Световые лучи, не находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на пластинку под углом с модулём υ₁, послеотражения от нижней и верхней её поверхностей, вследствие чего образуются когерентные параллельные световые лучи (10.59) соберутся по законам геометрической оптики в M₃, M₄,...точках слева и справа на r₁ расстоянии от FF главнойоптической оси Л собирающей линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой Л собирающей линзы.

Таким образом, если параллельные световые лучи, падающие на пластинку под углом с модулём υ₁, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельные световые лучи с Δ₁ оптическойразностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, то на Э экране образуется светлое кольцо с r₁ радиусом. Параллельные световые лучи, падающие на пластинку под другим углом с модулём υ₂, после отражения от нижней и верхней её поверхностей образуют когерентные параллельные световые лучи с Δ₂ оптической разностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, вследствие чего на Э экране образуется другое светлое кольцо с r₂ радиусом. В результате на Э экраневозникают чередующиеся светлые и тёмные интерференционные кольца с центром в F точке пересечения FF главной оптическойсобирающей Л линзы, r₁, r₂, …. радиусы которых соответствуют υ₁, υ₂, ….углам падения параллельных лучей, падающих на пластину. Эти чередующиеся светлые и тёмные кольца называют интерференционными кольцами равного наклона.

Интерференционная картина световых волн с кольцами равной толщины или кольцами Ньютона

При нормальном падении (рис. 10.1.0.10) монохроматического параллельного пучка световых лучей с λ₀ длиной световой волныв вакууме на Пл.1 прозрачную пластину Δ оптическая (10.40) разность хода между 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, и 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, равна удвоенной b толщине зазора плюс λ₀/2 половина длины световой волны в вакууме, т.к. 1′′ лучотражается от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины с n показателем преломления, оптически более плотной, чем среда в зазоре b длиной, поэтому эта Δ оптическая (10.40) разность хода между 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, и 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, имеет следующий вид:

Δ = 2b + λ₀/2. (10.66)

Плоско - выпуклая(рис. 10.1.0.11) линза Л с R радиусом, которая применена на рис. 10.1.10, в A точке, где отражается 1′ световойлуч, имеет r расстояние от OO′ главнойоптической осиималую b << R величину удаленияповертикали A точкиот (рис. 10.1.0.10) верхнейповерхности Пл.2 прозрачнойпластины. Из прямоугольного(рис. 10.1.0.8) ABC треугольника в пренебрежении b² слагаемым по сравнению с R² имеем следующее выражение: R² = (R-b)² + r² ↔ b ≈ r²/2R..(10.67)

Плоско - выпуклая (рис. 10.1.0.11) линза Л с R радиусом, которая применена на рис. 10.1.10, в

A точке, где отражается 1′ световой луч, имеет r расстояние от OO′ главнойоптической оси и малую b << R величину удаления повертикали A точкиот (рис. 10.1.0.10) верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины.

Из прямоугольного(рис. 10.1.0.11) ABC треугольника в пренебрежении b^2 слагаемым по сравнению с R^2 имеем следующее выражение: R^2 = (R-b)^2 + r^2 ↔ b ≈ r^2/2R. (10.68) Подставляем (10.67) в (10.68) и получаем следующее выражение, связывающее (рис. 10.1.0.10) Δ оптическую(10.40) разность ходамежду 1′ световымлучом, отражённым в A точке от нижнейповерхности Л линзы, и 1′′ световымлучом, отражённым от верхнейповерхности Пл.2 прозрачнойпластины, с r расстоянием от OO′ главнойоптической оси: Δ = r^2/R + λ0/2. (10.69)

Условия интерференционных максимумов и минимумов определим из следующего выражения кратности Δ оптической (10.41) разности хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, половине длины световой волны λ₀/2 в вакууме: Δ = r²/R + λ₀/2 = mλ₀/2. (10.70)

Нечётные m = 1, 3, 5, ….. в (10.70) по аналогии с выражением (10.34) существования интерференционных минимумов у когерентных световых лучей соответствуют интерференционным тёмным кольцам Ньютона равной толщины (рис. 10.1.0.10) на Пл.1 прозрачной пластине, т.е. интерференционным минимумам, т.к. Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, кратна нечётному количеству половине

λ₀/2 длин световых волн в вакууме.

Чётные m = 2, 4, 6, ….. в (10.70) по аналогии с выражением (10.33) существования интерференционных максимумов у когерентных световых лучей соответствуют интерференционным светлым кольцам Ньютона равной толщины (рис. 10.1.0.10) на Пл.1 прозрачной пластине, т.е. интерференционным максимумам, т.к. Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, кратна λ₀ длине световой волны в вакууме. Радиусы r_m интерференционных светлых колец, где m = 1, 3, 5, …, и r_m интерференционных тёмных колец, где m = 0, 2, 4, 6, … определяем из решения следующего выражения (10.70) относительно r_m радиуса этих интерференционных колец r_m = [Rλ₀m/2]^1/2. (10.71) Значению m = 0 соответствует в (10.71) r₁ = 0, т.е. тёмная точка нарис. 10.1.10 на Пл.1 прозрачной пластине, в том месте, где её пересекает OO′ главнаяоптическая ось Л линзы. Это происходит потому, что Δ оптическая (10.41) разность хода между 1′′ световым лучом, отражённым от верхней поверхности Пл.2 прозрачной пластины, и 1′ световым лучом, отражённым в A точке от нижней поверхности Л линзы, равна (10.70) половине длины световой волны λ₀/2 в вакууме, что соответствует интерференционному минимуму.

Применение интерференции световых волн: интерферометр Майкельсона

В интерферометре Майкельсона (рис. 10.1.0.12) пучок монохроматических световых лучей с λ₀ длиной световой волныв вакууме от S источника превращается Л линзой в параллельный пучоксвета. Первая часть 1 луча света попадает на Ппр.З полупрозрачное зеркало, частично отражается вверх, доходит до Пд. З подвижногозеркала, отражается и возвращается 1′ лучом на Э экран. Вторая часть 1 луча света проходит через полупрозрачное Ппр.З зеркало, отражается от

Нпд. З неподвижного зеркала и 1′′ лучом частично отражается от Ппр.З полупрозрачного зеркала, поступает на Э экран Э, где складывается с 1′ когерентным лучом. Оптическая Δ₁ разность хода между 1′ световым лучоми 1′′ световым лучом имеет следующий вид: Δ₁ = 2(l₁′ - l₁′′),(10.72) где l₁′, l₁′′ - расстояния от места падения 1 луча на Ппр.З полупрозрачное зеркало до соответственно Пд. З подвижного и Нпд. З неподвижного зеркал.

Если Δ₁ оптическая разностьхода между 1′ световым лучоми 1′′ световым лучом по аналогии с выражением (10.33) существования интерференционных максимумов у когерентных световых лучей кратна λ₀ длине световой волны в вакууме, то на Э экране в месте сложения

1′ и 1′′ световых лучейбудет интерференционный максимум, условием возникновения которого является следующее значение Δ₁ оптической разности хода между 1′ световым лучоми 1′′ световым лучом: Δ₁ = 2(l₁′ - l₁′′) = mλ₀,(10.73)

где m = 0, 1, 2, ……

Оптическая Δ₂ разность ходамежду 2′ и 2′′ световымилучамиимеет следующее значение: Δ₂ = 2(l₂′ - l₂′′),(10.74) где l₂′, l₂′′ - расстояния от места падения 2 луча на Ппр.З полупрозрачное зеркалодо соответственно Пд. З подвижного и Нпд. З неподвижного зеркал. Если Δ₂ оптическая разностьходамежду 2′ световымлучоми 2′′ световымлучом по аналогии с выражением (10.34) существованияинтерференционных минимумову когерентных световых лучейкратна нечётному количеству λ₀/2 половин длин световых волн в вакууме, то на Э экране в месте сложения 2′ и 2′′ световыхлучей  

будет интерференционный минимум, условием возникновения которого является следующее значение Δ₂ оптической разностихода между 2′ световым лучоми 2′′ световым лучом: Δ₂ = 2(l₂′ - l₂′′) = (m + 1/2) λ₀, (10.75) где m = 0, 1, 2, ……

Световые лучи 1′′, 2′′ дважды проходят через оптическую среду, на которой находится Ппр.З полупрозрачное зеркало, а 1′, 2′ световые лучи только один раз. Для уравнивания условия световых лучей 1′, 2′ и 1′′, 2′′ применяют Км.Пл компенсационную пластину.

Многолучевая интерференция световых волн: интерферометр Фабри - Перо

В интерферометре Фабри - Перо (рис. 10.1.0.13) многолучевая интерференция осуществлена многократным отражением пучка параллельных монохроматических световых лучей с λ₀ длиной волныв вакууме от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал. Рассеянный монохроматический свет, в котором имеются световые лучи с λ₀ длиной волныв вакууме самых разнообразных направлений (рис. 10.1.0.13), находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало под υ₁ углом, после многократного отражения от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал превращаютсяв n когерентных параллельных световых лучей и собираются по законам геометрической оптики в M₁₁ точкена r₁ расстоянииот FF главной оптическойсобирающей Л линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на

f расстоянииот этой Л собирающей линзы, если эти n когерентных параллельных световых лучей имеют одинаковую оптическую Δ₁ разность хода между собой, кратную целому числу λ₀ длин световых волн в вакууме.

Cветовые лучи с λ₀ длиной волныв вакууме (рис. 10.1.0.13), находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало под -υ₁ углом, после многократного отражения от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал превращаютсяв

n когерентных параллельных световых лучей и собираются по законам геометрической оптики в

M₁₂ точкена r₁ расстоянииот FF главной оптическойсобирающей Л линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой Л собирающей линзы, если эти n когерентных параллельных световых лучей имеют одинаковую оптическую Δ₁ разность хода между собой, кратную целому числу λ₀ длин световых волн в вакууме.

Световые лучи с λ₀ длиной волныв вакууме (рис. 10.1.0.13), не находящиеся в плоскости рисунка и падающие параллельным пучком на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало под углом с модулём υ₁, после многократного отражения от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал превращаютсяв n когерентных параллельных световых лучей и собираются по законам геометрической оптики в точкахна окружности r₁ радиусомотносительно FF главной оптическойсобирающей Л линзы в фокальной плоскости на Э экране, находящегося на f расстоянииот этой

Л собирающей линзы, если эти n когерентных параллельных световых лучей имеют одинаковую оптическую Δ₁ разность хода между собой, кратную целому числу λ₀ длин световых волн в вакууме. Таким образом, если параллельные световые лучи с λ₀ длиной волныв вакууме (рис. 10.1.0.13), падающие параллельным пучком на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало под углом с модулём υ₁, после многократного отражения от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал образуют когерентные параллельные световые лучи с Δ₁ оптическойразностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, то на Э экране образуется светлое кольцо с r₁ радиусом.

Параллельные световые лучи с λ₀ длиной волныв вакууме (рис. 10.1.0.13), падающие параллельным пучком на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало под другим углом с модулём υ₂, после многократного отражения от двух Ппр.З₁, Ппр.З₂ полупрозрачных зеркал превращаютсяв

n когерентных параллельных световых лучей с Δ₂ оптической разностью хода, удовлетворяющего условию (10.33) интерференционного максимума, вследствие чего на Э экране образуется другое светлое кольцо с r₂ радиусом. В результате на Э экраневозникают чередующиеся светлые и тёмные интерференционные кольца с центром в O точке пересечения FF главной оптическойсобирающей Л линзы с Э экраном, r₁, r₂, …. радиусы которых соответствуют υ₁, υ₂, ….углам падения параллельных лучей, падающих на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало. Эти чередующиеся светлые и тёмные кольца называют интерференционными кольцами равного наклона в интерферометре Фабри - Перо.

Оптическая Δ разность хода (рис. 10.1.0.14) соседних интерферирующих световых лучей

с λ₀ длиной волнойв вакууме определяетсяследующим выражением:

Δ = ABC - DB = (2l/cosυ) - (2ltqυ sinυ = 2lcosυ. (10.76) Интерференционный максимум (рис. 10.1.0.14) определяется следующим условием (10.33) кратности оптической Δ разности хода (10.76) от соседних интерферирующих когерентных параллельных световых лучей целому числу λ₀ длин волн в вакууме:

2lcosυ = mλ₀ ↔ cosυ = mλ₀/2l ↔ υ = arcos(mλ/2l), (10.77).где m = 1, 2, … - порядок интерференционного максимума, который возрастает по мере уменьшения(рис. 10.1.0.13) υ угла, под которым наблюдают интерференционное кольцо, соответствующее заданному m = 1, 2, … порядку интерференционного максимума.

Угловая D_у дисперсия интерферометра Фабри - Перо - это отношение δυ значения приращения (рис. 10.1.0.3) υ угла, под которым наблюдают интерференционное кольцо, соответствующее заданному m = 1, 2, … порядку интерференционного максимума, при изменении длины световой волны на δλ величину, которая с учётом (10.77) определяется из следующего соотношения:

D_у = δυ/δλ = d(arccosmλ/2l)/dλ ↔ D_у = - {1/[1 - (mλ/2l)²]^1/2}(m/2l) = - m/2lsinυ, (10.78)где (10.77) mλ/2l = cosυ и поэтому [1 - (mλ/2l)²]^1/2 = sinυ.

Из (10.77) получаем следующее выражение: cosυ = mλ/2l ↔ m/2l = cosυ/λ. (10.79)

Подставляем (10.79) в (10.78)и получаем следующее приблизительное выражение, связывающее величину угловую D_у дисперсию интерферометра Фабри - Перо с λ длиной волны в вакууме и

(рис. 10.1.0.3) υ углом падающего параллельного пучка световых лучей на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало: D_у = δυ/δλ = - 1/λtgυ ≈ - 1/λυ, (10.80)

согласно которому при положительном δλ приращении λ длины волны в вакууме и постоянном υ угле падающего параллельного пучка световых лучей на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало, приращение δυ угла υ, под которым наблюдают интерференционное кольцо, соответствующее заданному m = 1, 2, … порядку интерференционного максимума, отрицательно, т.е. при увеличении λ длины волны в вакууме при постоянном υ угле падающего параллельного пучка световых лучей на Ппр.З₁ полупрозрачное зеркало, угол υ, под которым наблюдают на Э экране (рис. 10.1.0.3) интерференционное кольцо, уменьшается.

Это свойство интерферометра Фабри - Перо используется для измерения λ длин волн световых лучей, т.е. для спектральных исследований.

Лекция 14. Дифракция световых волн: принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция световых волн: метод зон Френеля. Дифракция световых волн: радиус зон Френеля. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от круглого диска: пятно Пуассона. Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого отверстия с помощью спирали Френеля. Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого диска с помощью спирали Френеля. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от зонной пластинки. Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от пластинки Вуда. Графический метод расчёта дифракции Френеля световых волн от полуплоскости с помощью спирали Корню. Графический метод расчёта дифракции Френеля световых волн от щели в плоскости с помощью спирали Корню. Дифракция Фраунгофера световых волн от круглого отверстия. Дифракция Фраунгофера световых волн от щели в плоскости. Предельный переход от волновой оптики к геометрической.

Дифракция световых волн: принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказываются тем меньше, чем меньше длина волны. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции световых волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции световых волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией световых волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции световых волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией световых волн. Поэтому говорят об интерференционной картине от двух узких щелей и о дифракционной картине от одной щели. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждый (рис. 10.1.0.10) элемент dS волновой поверхности S площадью служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS площадью. Амплитуда dA колебаний A светового вектора

сферической(10.9)световой волны с учётом расстояния r от элемента dS площадьюисточника сферической световойволны до произвольной М точки пространства имеет следующий вид: dA = ma₀ dS/r, (10.81) где m - коэффициент, зависящий от υ угла между нормалью n к элементу dS площадью и r радиусом - вектором, который соединяет этот элемент dS площадью с произвольной М точкой пространства. При υ = 0 этот  

m коэффициент максимален. При υ = π/2 коэффициент m обращается в нуль.

От каждого (рис. 10.1.0.15) элемента dS площадью волновой поверхности S площадью в произвольную М точку пространства приходит колебание A светового вектора сферической световой волны, проекция (10.8) dA которого на плоскость, перепендикулярную r радиусу - вектору, имеет следующий вид: dA = (ma₀ dS/r)cos(ωt - kr + φ₀), (10.82) где (10.81) mA₀ dS/r - амплитуда dA колебаний A светового вектора сферической (10.9) световой волны в произвольной М точке пространства, находящейсяна расстояния r от элемента dS площадью источника сферической световой волны в направлении υ угла между n нормалью к этому элементу

dS площадью; Ф = ωt + φ - фаза колебания в произвольный момент t времени на сферической волновой поверхности S площадью; a₀ - множитель, определяемый амплитудой световой волны в том месте, где находится элемент dS площадьюна волновой поверхности S площадью; φ - начальная фаза колебания сферической световой волны в момент t₀ = 0 времени в месте расположения волновой поверхности S площадью; ω - циклическая частота колебаний A светового вектора сферической световой волны; k = ω/ v - волновое число; v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 - фазовая скорость электромагнитной волны, чем являются световые волны с λ₀ длинами волнв вакууме,находящимися в интервале (10.3) 10 нм < λ₀ < 1 мм и распространяющимися в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями.

Аналитическое выражение принципа Гюйгенса - Френеля заключается в том, что результирующая проекция A на плоскость, перпендикулярную r радиусу - вектору, A светового вектора сферической световой волны (рис. 10.1.0.15) в произвольной М точке пространства, представляет собой следующую суперпозицию проекций (10.81) dA от всех элементов dS площадью волновой поверхности S площадью: A = ∫dA = ∫(ma₀/r)cos(ωt - kr + φ₀)dS. (10.83) S S

Дифракция световых волн: метод зон Френеля

Точечный источник S создаёт монохроматическую сферическую световую волну в однородной изотропной среде с n показателем преломления, поэтому оптическая λ= λ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами на рис. 10.1.0.16.

Сферическая(2.76) в разделе 02.0.0 "Колебания и волны" волновая поверхность световой волны в произвольный момент времени t имеет a радиус. Если закрыть все зоны кроме 1 - ой с r₁ радиусом, то световые волны, пройдя оптический путь b + λ/2, где λ= λ₀ /n - длина световой волны в однородной изотропной среде с n относительным показателем преломления, будут приходить в M точку пространства на Э экране в фазеи А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в этой M точке пространствана Э экране будет равен А₁.

Если в M точку пространства на Э экране будут приходить световые волны от m - зон с r₁, r₂, r₃, … радиусами, то результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в этой M точке пространства будет равна алгебраической сумме А₁, А₃, А₅, … амплитуд, т.е. от зон с нечётными номерами r₁, r₃, r₅, … радиусов и А₂, А₄, А₆, … амплитуд, т.е. от зон с чётными номерами r₂, r₄, r₆, … радиусов.

---

Дата добавления: 2015-07-10