Метод простых итераций. Исходное уравнение (1.1)

Исходное уравнение (1.1)

f(x)=0

всегда можно преобразовать к эквивалентному уравнению

х = j(х) (1.24)

Пусть известно начальное приближение к корню x₀, тогда подставим его в правую часть уравнения (1.24) и получим новое приближение x₁ = j(х₀), затем аналогичным образом получим x₂ = j(х₁) и так далее. Таким образом, итерационное уравнение метода простых итераций имеет вид:

x_k+1 = j(х_k) (1.25)

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (1.25) будет сходиться к корню уравнения х*.

Построим графики двух функций:

y₁(x)=x

y₂(x)=j(x)

Координаты пересечения графиков этих функций и дадут корень исходного уравнения (1.24) х*.

а) - односторонний сходящийся процесс	б) - односторонний расходящийся процесс
в) - двух­сторонний сходящийся процесс	г) - двухсторонний расходя­щийся процесс

Рис. 1.7. Метод простых итераций:

Рассмотрим процесс графически (рис. 1.7). Из графиков видно, что при j’(х)> 0 и при j’(х) < 0 возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной j’(х). Чем меньше | j’(х)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически. Пусть х* - корень уравнения (1.26), т.е. имеем

х*=j(х*)

Пусть e_k и e_k+1 - отклонения k и k+ 1 приближения корня от точного значения корня х*:

х_k=х*+e_k

х_k+1=х*+e_k+1

Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня х*, то функцию j(х) можно при­ближенно представить двумя членами ряда Тейлора:

j(х_k)=j(х*+e_k)=j(х*)+j’(х*)×e_k

. Тогда итерационная формула (1.25) примет вид

Учитывая, что х* является корнем уравнения: х* = j(х*), получим:

или

(1.26)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, должно выполняться условие

(1.27)

или

(1.28)

Из (1.26) видно, что максимальная сходимость будет в случае, если .

Переход от уравнения (1.1) к уравнению (1.24) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x). При таком переходе необходимо построить функцию такую j(х), чтобы выполнялось условие сходимости (1.26). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1) к уравнению (1.24). Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся

x+b×f (х) = х +0×b (1.27)

Введем обозначение

j(х)=x+bf(x) (1.28)

и перейдем от соотношения (1.27) к уравнению (1.24).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.26). Необходимо выбрать величину b такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсто­ронней (рис. 1.11, в). В этом случае в наиболее простом виде можно пред­ставить критерий окончания итерационного процесса

|x_k+1-x_k|<e (1.29)

где e - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция j(х) выбрана в виде (1.28), то производная по х от этой функции будет

j’(х) = 1+b×f’(х)

Т.е. условие (1.26) имеет вид:

или

Или

Поэтому константу b необходимо выбирать из интервала:

А) если f’(х)>0

-2/f’(х*)<b<0

Б) если f’(х)<0

0<b<-2/f’(х*)

Наибольшую скорость сходимости получим при j’(х*)= 0, тогда

b = -1/f’(х*)

и итерационная формула (125) переходит в формулу Ньютона

x_k+1 =x_k - f(х_k)/f’(х_k)

Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.

Дата добавления: 2015-07-07