Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод простых итераций. Исходное уравнение (1.1)

Читайте также:
  1. I. Определение и проблемы метода
  2. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА
  3. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  4. I. Экспертные оценочные методы
  5. II МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ
  6. II. Категории и методы политологии.
  7. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Исходное уравнение (1.1)

f(x)=0

всегда можно преобразовать к эквивалентному уравнению

х = j(х) (1.24)

Пусть известно начальное приближение к корню x0, тогда подставим его в правую часть уравнения (1.24) и получим новое приближение x1 = j(х0), затем аналогичным образом получим x2 = j(х1) и так далее. Таким образом, итерационное уравнение метода простых итераций имеет вид:

xk+1 = j(хk) (1.25)

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (1.25) будет сходиться к корню уравнения х*.

Построим графики двух функций:

y1(x)=x

y2(x)=j(x)

Координаты пересечения графиков этих функций и дадут корень исходного уравнения (1.24) х*.

а) - односторонний сходящийся процесс б) - односторонний расходящийся процесс
в) - двух­сторонний сходящийся процесс г) - двухсторонний расходя­щийся процесс

Рис. 1.7. Метод простых итераций:

 

Рассмотрим процесс графически (рис. 1.7). Из графиков видно, что при j’(х)> 0 и при j’(х) < 0 возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной j’(х). Чем меньше |j’(х)| вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически. Пусть х* - корень уравнения (1.26), т.е. имеем

х*=j( х*)

Пусть ek и ek+1 - отклонения k и k+1 приближения корня от точного значения корня х*:

хk=х*+ek

хk+1=х*+ek+1

Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня х*, то функцию j(х) можно при­ближенно представить двумя членами ряда Тейлора:

j( хk)=j( х*+ek)=j( х*)+j’( х*)×ek

. Тогда итерационная формула (1.25) примет вид

Учитывая, что х* является корнем уравнения: х* = j(х*), получим:

или

(1.26)

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, должно выполняться условие

(1.27)

или

(1.28)

Из (1.26) видно, что максимальная сходимость будет в случае, если .

Переход от уравнения (1.1) к уравнению (1.24) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x) . При таком переходе необходимо построить функцию такую j(х), чтобы выполнялось условие сходимости (1.26). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1) к уравнению (1.24). Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся

x+b×f (х) = х +0×b (1.27)

Введем обозначение

j(х)=x+bf(x) (1.28)

и перейдем от соотношения (1.27) к уравнению (1.24).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.26). Необходимо выбрать величину b такой, чтобы , тогда сходимость итерационного процесса будет двухсто­ронней (рис. 1.11, в). В этом случае в наиболее простом виде можно пред­ставить критерий окончания итерационного процесса

|xk+1-xk|<e (1.29)

где e - заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция j(х) выбрана в виде (1.28), то производная по х от этой функции будет



j’(х) = 1+b×f’(х)

Т.е. условие (1.26) имеет вид:

или

Или

Поэтому константу b необходимо выбирать из интервала:

А) если f’(х)>0

-2/f’(х*)<b<0

Б) если f’(х)<0

0<b<-2/f’(х*)

Наибольшую скорость сходимости получим при j’(х*)=0, тогда

b = -1/f’(х*)

и итерационная формула (125) переходит в формулу Ньютона

xk+1 =xk - f(хk)/f’(хk)

Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 109 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод Ньютона (метод касательных)| Методы освоения нефтяных скважин

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.008 сек.)