Метод Ньютона. Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при

Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Цей метод відомий своєю швидкою збіжністю (квадратичною збіжністю).

Нехай корінь рівняння відокремлений на відрізку , причому і неперервні і зберігають сталі знаки на всьому відрізку . Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої.

Візьмемо деяку точку x ₀ відрізка [ а, b ] і проведемо в точці [ x ₀, f (x ₀)] дотичну до цього графіку (в прикладі обрано x₀=b).

Рис. 3

Її рівняння має вигляд:

.

Візьмемо за перше наближення кореня точку перетину дотичної з віссю ОХ (y=0; x=x₁), одержимо:

(8)

Наступне наближення знаходимо відповідно за формулою

Узагальнена ітераційна формула методу Ньютона має вигляд

(9)

Зазначимо, що початкове наближення доцільно вибирати так, щоб виконувалась умова

(10)

В протилежному випадку збіжність методу Ньютона не гарантується.

Найчастіше або , в залежності від того, для якої із цих точок виконується умова (10).

Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля похідної біля кореня достатньо велике, тобто графік функції в околі даного кореня має велику крутизну.

Метод Ньютона, як і метод хорд є методом одностороннього наближення. Причому якщо в методі хорд наближення відбувається справа, то в методі Ньютона – зліва, і навпаки.

Дата добавления: 2015-07-07