Задачи СМО с отказами (потерями)

Системы массового обслуживания с отказами или потерями распространены достаточно широко. Особенностью их функционирования является то, что всякое требование, поступившее в систему в некоторый момент времени, либо сразу обслуживается, либо теряется, если в момент его поступления все обслуживающие каналы заняты.

Пусть имеется -канальная СМО с отказами. Она может находиться в следующих состояниях: в системе находится нуль требований (т.е. все каналы свободны), в системе находится одно требование, в системе находится требований,…, заняты все каналов обслуживания. На вход поступает пуассоновский поток требований с заданной интенсивностью . Время обслуживания каждого требования изменяется по показательному закону. Производительность канала или интенсивность потока обслуживания – , т.е. среднее время обслуживания одной заявки одним каналом . Эти показатели имеют одинаковый смысл: плотность потока заявок, плотность потока обслуженных требований, покидающих канал. Обозначим через приведенную плотность потока заявок или интенсивность нагрузки ().

Следовательно, если все каналов заняты, то требование получает отказ, т.е. покидает систему необслуженным. Если хотя бы один канал свободен, то требование поступает в свободный канал и обслуживается до конца. Обозначим через состояния системы, характеризующиеся тем, что в системе занято ровно k каналов обслуживания. Всего может быть состояние. Пусть вероятность того, что в момент система находится в состоянии , т.е. поступило k требований. Используя формулы Эрланга, которые выражают вероятности всевозможных состояний системы через параметры и , можно найти основные характеристики эффективности СМО с отказами.

Задача 1. Информационная служба торгового предприятия дает справки по телефонной линии о наличии фруктов, поступивших по экспорту. В среднем за одну минуту происходит 3 запроса, а средняя продолжительность одного разговора составляет 0,25 минуты. Определить важнейшие характеристики СМО, считая все потоки простейшими. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е. с пропускной, способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждый запрос обслуживался ровно 0,25 минуты и все запросы следовали бы один за другим без перерыва.

Математической моделью телефонной линии торгового предприятия является одноканальная СМО с отказами. Параметры данной системы следующие: интенсивность входящего потока l = 3; среднее время обслуживания = 0,25; интенсивность потока обслуживания = 4.

Найдем: 1) вероятность отказа запроса

или 42,9%.

Вероятность того, что канал занят, составляет 0,43, а вероятность того, что канал свободен – 0,57. Это связано с тем, что интенсивность входящего потока меньше интенсивности обслуживания (производительности канала). Значит, в установившемся предельном режиме из каждых 100 запросов в среднем 43 получают отказ.

Далее найдем: 2) относительная пропускная способность СМО

,

3) абсолютная пропускная способность СМО

.

Число запросов, обслуженных в течение часа, составляет 60 А = 103. В этих же условиях номинальная производительность равна Q _Н = 60:0,25 = 240 запросов в час.

Из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных звонков и случайный характер длительности разговоров привели к такой ситуации, что абсолютная пропускная способность (1,713 разговора в минуту) почти в 2,3 раза меньше производительности информационной службы. Что же нужно сделать, чтобы повысить относительную пропускную способность

одноканальной СМО? Этого можно добиться либо снижением интенсивности потока запросов l, что по условию невозможно, либо увеличением интенсивности обслуживания , что вряд ли реально, либо увеличением каналов обслуживания n.

Пример №1 для самостоятельного решения. Н телефонную линию фирменного магазина АПК производительностью 0,6 вызовов в минуту () и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток заказов покупателей с интенсивностью 0,7 вызовов в минуту (). Определить важнейшие характеристики рассматриваемой системы.

Задача 2. Рассмотрим следующую ситуацию. Одна из консультационных фирм предлагает частным предпринимателям свои услуги по правильному ведению экспортно-импортных операций. В фирме постоянно работают 4 консультанта. При этом соблюдается следующее условие: если предприниматель заходит в консультационный отдел, когда все работники заняты, то он сразу уходит в конкурирующую фирму, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающих в консультационный центр за один час, составляет 6 человек. Среднее время, затрачиваемое консультантом на обслуживание одного предпринимателя, составляет 20 минут. Необходимо определить основные характеристики функционирования СМО.

Математической моделью консультационной фирмы является многоканальная СМО с отказами. Приведем исходные данные задачи к единой системной единице времени (возьмем 1 час) и рассмотрим параметры имеющейся модели:

общее число каналов обслуживания ; интенсивность входящего потока l = 6 чел/ч; среднее время обслуживания мин, или 0,33 ч; интенсивность потока обслуживания чел/ч; интенсивность нагрузки системы требования (среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки); количество занятых каналов равно k.

Рассмотрим выражения для вероятностей любых состояний системы, связывая их с количеством требований k (числом занятых каналов). Поскольку система с потерями, то k £ , а число всех возможных состояний равно n+ 1. Предельные вероятности состояний системы (формулы Эрланга) для данной СМО имеют вид:

Используя их, получим значения для вычисления характеристик эффективности СМО с потерями.

Вероятность отсутствия требований в системе (доля времени простоя консультантов фирмы):

Это означает, что в среднем 14,3% всего времени работы все 4 консультанта одновременно будут свободны.

Иногда для упрощения расчетов составляют табл. 1.

Т а б л и ц а 1. Расчеты для четырехканальной СМО с отказами

Значения случайной величины k (число занятых консультантов)	r^k	k!		Pk	k×Pk
				0,143
				0,286	0,286
				0,286	0,572
			1,333	0,191	0,573
			0,667	0,095	0,380
Итого	*	*		1,001	1,811

Вычисления начинаются с заполнения первых четырех столбцов. Сумма элементов четвертого столбца дает знаменатель выражения для определения Р₀:

Далее находим элементы пятого столбца, умножая на величину Р₀ соответствующие данные четвертого столбца. Коэффициенты пятого столбца суммируем для контроля вычислений. Их сумма должна быть равна единице (с допустимыми в пределах точности расчетов отклонениями). После этого заполняем последний столбец рассматриваемой таблицы.

Найдем следующие характеристики данной системы. Далее определим вероятность отказа:

Вероятность того, что клиент получил отказ, равна вероятности того, что все четыре консультанта фирмы заняты, то есть из таблицы Р₄ = 0,095. Данная величина говорит о том, что из каждых 100 посетителей примерно 10 получат отказ (т.е. 9,5% потенциальных клиентов уходят из-за ограниченного количества консультантов).

Относительная пропускная способность системы (или вероятность обслуживания требования) равна:

,

т.е. из 100 обращающихся предпринимателей 90 будут обслужены.

Этот показатель меньше 1, потому что часть клиентов попадает в систему, когда все операторы заняты.

Абсолютная пропускная способность составит: обслуживаний в час.

Среднее число занятых каналов находим по формуле:

, или .

Из таблицы 1 (последний столбец) видим, что среднее число занятых консультантов составляет 1,811. В самом деле

Дополнительно рассчитаем такие показатели, как коэффициенты использования каналов , простоя каналов , среднее число простаивающих каналов по формулам:

; ; .

Итак, , т.е. в среднем каждый консультант будет занят обслуживанием всего 45,3% рабочего времени; = 1 - 0,453 = 0,547; .

Пример №2 для самостоятельного решения. Информационно-справочное бюро оптовой региональной базы имеет трех диспетчеров, отвечающих на звонки о наличии товаров в торговых учреждениях. Телефонные аппараты взаимосвязаны, т.е. если звонок поступает, когда все диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заявки хотя бы один диспетчер свободен, то он переключается на свободный канал, т.е. справка выдается. В среднем за одну минуту в информационно-справочное бюро поступает 4 запроса, время обслуживания каждого требования в среднем составляет 1,5 минуты. Определить основные важнейшие характеристики данной системы массового обслуживания, считая все потоки простейшими:

1) интенсивность нагрузки системы; 2) вероятность отсутствия требований в системе; 3) вероятность отказа; 4) относительную пропускную способность; 5) абсолютную пропускную способность системы; 6) среднее число занятых каналов; 7) коэффициент использования каналов; 8) коэффициент простоя каналов; 9) среднее число простаивающих каналов.

Найдите решение с учетом дополнительного условия, что данная система должна удовлетворять не менее 90% заявок, т.е. , а .

Примечание. Необходимо рассчитать требуемое количество диспетчеров, рассматривая ограничение:

Дата добавления: 2015-07-08