Теорема Монжа и ее применение

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Теорема: Две поверхности второго порядка пересекаются по алгебраической кривой четвертого порядка. Действительно, если две поверхности Ф' и Ф" второго порядка пересечь некоторой вспомогательной плоскостью S, то в сечении получаются две кривые второго порядка.

Эти кривые пересекутся в четырех точках, принадлежащих линии пересечения поверхностей. Можно сказать, что линия пересечения поверхностей второго порядка пересечена плоскостью S в четырех точках. А в четырех точках, как известно, пересекается плоскостью только кривая четвертого порядка. В частных случаях кривая четвертого порядка распадается на кривые более низких порядков. Рассмотрим эти случаи.

Теорема о двойном соприкосновении

Теорема: Если две поверхности второго порядка имеют две точки соприкосновения, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых пересекаются по прямой, соединяющей точки их соприкосновения.

Рисунок 6.27

Эллиптический конус, изображенный на рисунке 6.27, соприкасается со сферой в точках А и В.

Линия пересечения – кривая четвертого порядка – распадается на две плоские кривые р и q. Эти кривые могут быть только окружностями. Следовательно, на поверхности второго порядка с эллиптическими параллелями существуют два семейства круговых сечений, которые могут быть использованы для упрощения решения задач.

Теорема Монжа и ее применение

Теорема: Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую соединяющей точки пересечения линий касания.

Это положение, известное как теорема Монжа, является следствием из теоремы о двойном соприкосновении. Рассмотрим пример. Построить линию пересечения конической и цилиндрической поверхностей, описанных около одной и той же сферы (рисунок 6.28).

Рисунок 6.28

Линией прикосновения конической поверхности и сферы будет окружность 1 – 2, а цилиндрической поверхности и сферы – окружность 3 – 4. Точки М и N пересечения этих окружностей и будут точками соприкосновения конической и цилиндрической поверхностей, так как в этих точках у поверхностей будет общая касательная плоскость.

Таким образом, имеем соприкосновение данных поверхностей и, следовательно, линия их пересечения распадается на пару плоских кривых второго порядка. В рассматриваемом примере линия пересечения распадается на пару эллипсов АВ и CD, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых А₂В₂, и C₂D₂.

Рассмотрим применение теоремы Монжа при конструировании трубопроводов, выполняемых из листового материала. Построить переходные конические поверхности, соединяющие данные цилиндрические трубы I, II и III, оси которых находятся в одной фронтальной плоскости (рисунок 6.29 а,б). Если вписать в каждую из этих труб сферу, то каждая пара сфер, вписанных в трубы 1,2,3, определит переходные конические поверхности 4 и 5, касательные к этим сферам.

а)	б)

Рисунок 6.29

При построении линий пересечения данных и переходных поверхностей следует учесть теорему Монжа, из которой следует, что искомые линии пересечения будут плоскими кривыми (эллипсами).

Фронтальные проекции этих линий (рисунок 6.29, а) будут отрезками прямых А₂С₂, В₂С₂, C₂D₂, E₂F₂ и G₂H₂, определяемых точками пересечения очерковых образующих. Решение на рисунок 6.29, б, аналогично рассмотренному выше.

Дата добавления: 2015-11-04