Особенностью протяженных на десятки и сотни километров линий электропередач является волновой характер передачи электромагнитной энергии в пространстве вдоль линии.

При этом существенную роль играет частота электромагнитной волны f, определяющая длину волны λ; именно на расстоянии вдоль линии, равном λ, завершается полный цикл изменения характеристик волны в пространстве.

Критерием, который определяет рассмотрение линии передачи как цепи с распределенными параметрами, является именно длина волны [2]

(16.1)

где v – скорость распространения электромагнитной волны, км/с;

f – частота электромагнитной волны, Гц.

В таких электрических цепях (линиях), в силу их большой протяженности, параметры цепи уже нельзя в схемах замещения сосредоточить на каких-либо отдельных участках – эти параметры должны быть распределены вдоль линии на всем ее протяжении.

По имеющейся в теории цепей классификации к группе электриче ских цепей с распределенными параметрами относятся:

- воздушные и кабельные линии электропередач при высоких напряжениях – в электроэнергетике;

- телефонные и телеграфные линии – в электросвязи;

- антенно-фидерные системы и высокочастотные широкополосные трансформаторы – в радиотехнике;

- проводные каналы передачи телеметрической информации – в электроавтоматике;

- высокочастотные индуктивные катушки, электрические высокочастотные машины – в электротехнике.

В реальной ЛЭП большой протяженности (длиной l) нужно учитывать ее главные параметры, распределенные по всей ее длине: активное сопротивление r _л и индуктивность L _л ее проводов (“продольные” параметры), а также активную проводимость изоляции g _л для токов утечки и емкость C _л между проводами, поскольку по всей длине линии существуют электрическое переменное поле и токи смещения. Параметры g _л и C _л называются “поперечные” параметрами длинной линии.

Если условно длинную линию разбить на ряд последовательных участков, каждый длиной Δ x, линия будет рассматриваться как каскадная схема, составленная из ее отдельных отрезков – четырехполюсников. В каждом таком четырехполюснике имеются свои сосредоточенные параметры r ₁, g ₁, L ₁, C ₁; r ₂, g ₂, L ₂, C ₂ и т.д. В общем случае однотипные параметры линии на одинаковых по длине участках не одинаковы (r ₁ ≠ r ₂, g ₁ ≠ g ₂, L ₁ ≠ L ₂ и C ₁ ≠ C ₂). Такая линия является неоднородной длинной линией.

Схема замещения неоднородной длинной линии на двух участках линии: первый – на расстоянии x от начала линии, второй – на расстоянии x + Δ x, представлена на рисунке 1.

Рисунок 1

Если токи утечки малы, а сопротивление проводов на всех участках также малы, то активными параметрами линии можно пренебречь (g _л = 0, r _л = 0). Такая длинная линия называется линией без потерь.

Картина распределения токов и напряжений на двух одинаковых по длине участках неоднородной длинной линии показана на слайде.

При рассмотрении токов и напряжений по длине линии убеждаемся, что токи в отрезках № 1 и № 2 линии для одного и того же момента времени различны. Соответственно и напряжения на участках (четырехполюсниках) для этого же момента времени не одинаковы.

Действительно, ток на участке № 2 будет меньше тока на участке № 1 за счет ответвляющегося тока Δ i ₁ = i _ут.1 + i _см.1, где i _ут.1 и i _см.1 – ток проводимости (утечки) и ток смещения в диэлектрике на первом участке

(16.2)

Аналогично u ₂ уменьшается за счет падения напряжения на продольной ветви участка № 1

(16.3)

Следует важный вывод:

Напряжение между проводами и ток в проводах длинной линии в каждый момент времени различны в разных точках (участках) линии и являются поэтому функциями двух независимых переменных – времени t и расстояния x от точки линии, выбранной за начало отсчета:

2. Телеграфные уравнения длинной линии. Первичные параметры однородной линии

Предметом дальнейшего изучения являются только однородные длинные линии, у которых параметры r _к, L _к, g _к, C _к одинаковы на всех участках по всей длине линии.

В теории однородных линий все параметры линии относятся к единице длины линии (1 км, 1 м, 1 см) и обозначаются с индексом “0”:

Эти параметры называются первичными параметрами однородной электрической длинной линии.

Первичные параметры длинной линии при рассмотрении электромагнитных процессов в линии всегда должны быть известны (заданы). Они могут быть либо рассчитаны аналитически, либо получены экспериментально.

Удобство отнесения параметров линии к единице ее длины в том, что с их помощью можно рассчитать соответствующий параметр на любом отрезке длинной линии.

Кроме первичных параметров, отнесенных к единице длины линии, в теории таких цепей используются и так называемые вторичные параметры: волновое сопротивление Z _В, входное сопротивление линии Z _ВХ, а также отнесенный к единице длины линии коэффициент распространения волны в линии .

Поскольку скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии конечна (энергия от источника к ее приемнику не может быть передана мгновенно, скачком), любая длинная линия есть линия задержки сигнала на время задержки T.

Линия может быть представлена как цепная схема с бесконечно большим числом каскадно включенных четырехполюсников – звеньев с сосредоточенными в пределах каждого звена параметрами .

В каждом элементе D x длины линии происходит падение напряжения D u и утечка тока D i, благодаря чему, как уже отмечено, напряжение и ток в каждой точке линии становятся функциями не только времени t, но и ее местоположения. По этим причинам уравнения однородной линии записываются в частных производных, поскольку t и x – независимые переменные.

Схема замещения рассматриваемой однородной длинной линии показана на рисунке 2.

Рисунок 2

Падение напряжения на продольной ветви элементарного четырехполюсника D u учитывается со знаком “минус”, если отсчет ведется от начала линии, так как на следующем элементарном четырехполюснике напряжение уже меньше в тот же момент времени именно на величину D u, то есть, согласно формуле (1.3) Если же отсчет ведется от конца линии, то падение напряжения D u учитывается со знаком “плюс”:

Аналогично обстоит дело и с учетом приращения тока D i: при отсчете от начала линии ток согласно (1.2) в соседнем отрезке линии в тот же момент времени уже меньше на величину D i (), и перед D i необходимо ставить знак “минус”, а при отсчете от конца линии ставится знак “плюс”.

В продольной ветви каждого отрезка D x линии, являющегося элементарным четырехполюсником, учитываются его сосредоточенные параметры: активное сопротивление (r ₀D x) и индуктивность (L ₀D x). Соответственно, и падение напряжения D u имеет две составляющие: падение напряжения на активном сопротивлении (r ₀D x)× i и напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции В поперечном же контуре элементарного четырехполюсника ток D i имеет также две составляющие: в ветви с сосредоточенной активной проводимостью (g ₀D x) имеет место активная составляющая тока (ток утечки), определяемая выражением (g ₀D x)×(u + D u), и реактивная составляющая тока в ветви с сосредоточенной емкостью (C ₀D x), которая называется током смещения и записывается через частную производную напряжения на емкости

Уравнения для приращений напряжения и тока на элементе длины D x запишутся следующим образом:

(16.4)

Поделим каждое уравнение на D x.

Переходя к пределам и опуская величины второго порядка получим дифференциальные уравнения длинной линии, соответствующие схеме замещения на рисунке 3:

(16.5)

Рисунок 3 - Дифференциальная схема замещения однородной длинной линии

Если начало отсчета производится от конца линии, знаки “минус” в левой части уравнений нужно опустить.

Решение уравнений (16.5) дает функциональные зависимости выражения и тока в линии от переменных x и t.

3. Комплексная схема замещения однородной линии. Уравнения однородной линии в комплексной форме

Переход к комплексной схеме замещения (рисунок 4) длинной линии может быть осуществлен при синусоидальном режиме работы линии после записи первичных параметров линии в комплексной форме:

(16.6)

где Z ₀ – продольное полное комплексное сопротивление единицы длины линии;

Y ₀ – поперечная комплексная проводимость единицы длины линии.

Рисунок 4 - Комплексная схема замещения

однородной длинной линии

Поскольку дифференциальные уравнения линии (2) при неизменных коэффициентах r ₀, g ₀, C ₀, L ₀ являются линейными уравнениями, переход к комплексной форме их записи является обычным, как при переходе от синусоид и к их комплексным символам:

u = Jm [ U e^jwt ]; i = Jm [ I e^jwt ].

Получаем после сокращения на множитель :

(16.7)

Уравнения (4) записаны в обыкновенных производных, так как действующие значения напряжения и тока (U и I) от времени t не зависят и являются функциями только расстояния x.

4. Длинная линия как четырехполюсник. Вторичные параметры длинной линии

Часто удобно анализировать процессы в длинной линии на основе представления такой линии в виде эквивалентного четырехполюсника.

В теории длинных линий доказана идентичность комплексных уравнений четырехполюсника и уравнений длинной линии:

(16.8)

где l – расстояние до текущей точки линии, в которой надо найти напряжение U и ток I, причем отсчет l должен производиться от конца линии.

Поскольку основные уравнения четырехполюсника имеют вид:

легко получить первичные параметры эквивалентного четырехполюсника, сопоставив эти уравнения с уравнениями (16.8).

Имеем:

Рассматриваемый эквивалентный четырехполюсник является симметричным, так как A = D.

Соответственно и длинную линию можно заменить известными из теории четырехполюсников T - или П -образной схемами замещения четырехполюсника.

Соответствие характеристических параметров четырехполюсника (Z _c, g) и длинной линии (Z _B, ) определяется соотношениями:

(16.9)

Следовательно, сопротивление Z _B, называемое волновым сопротивлением линии, соответствует (равно) характеристическому сопротивлению длинной линии, рассматриваемой как четырехполюсник, а коэффициент , называемый коэффициентом распространения, соответствует коэффициенту передачи четырехполюсника на единицу длины

, (16.10)

где – коэффициент затухания на единицу длины линии;

– коэффициент фаз ы на единицу длины линии.

Таким образом, коэффициент распространения есть коэффициент передачи единичного (элементарного) четырехполюсника - звена, образованного единицей длины линии.

5.Прямая и обратная волны в однородной линии.

Коэффициент отражения

Рассмотрим установившийся режим в однородной длинной линии при синусоидальном напряжении источника питания. Поскольку цепь является линейной, в любой точке линии напряжение и ток изменяются также по синусоидальному закону с частотой источника питания. Для анализа режима воспользуемся комплексными уравнениями (1).

Исключив из системы (16.7) ток, получаем уравнение только с искомым напряжением

, (16.11)

где – (16.12)

– коэффициент распространения.

Аналогично, решив систему (16.7) относительно тока, получим

. (16.13)

Имеем совершенно одинаковые уравнения (16.11) и (16.13), которые являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Решение первого из них имеет вид

, (16.14)

где А ₁ и А ₂ – постоянные интегрирования, имеющие физический смысл комплексных составляющих напряжения.

Подставив значение U в первое уравнение системы, найдем комплексный ток:

, (16.15)

где – (16.16)

Дата добавления: 2015-11-03