Иллюстрация метода.

Рассмотрим применение классического метода на примере отыскания переходного тока, т.е. тока в цепи, имеющего место во время переходного процесса.

Условия задачи. Пусть задана последовательная RLC – цепь, подключающаяся к сети с напряжением u (рис. 13.6).

+

U

L

_

Рис. 13.6

Состояние этой цепи после коммутации может быть описано системой уравнений, полученных на основе известных соотношений между токами и напряжениями на элементах цепи и второго закона Кирхгофа:

(13.3)

Данная система уравнений легко может быть сведена к одному неоднородному интегро-дифференциальному уравнению с правой частью:

Это уравнение легко приводится к дифференциальному путем дифференцирования обоих его частей по t:

(13.4)

Полученное уравнение является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка (в цепи содержится два независимых реактивных элемента).

Из математики известно, что полное решение такого уравнения представляет собой сумму двух решений:

(13.5)

где i_y - установившаяся составляющая переходного тока (установившийся электрический ток);

i_cв - свободная составляющая переходного тока (свободный электрический ток).

Установившийся электрический ток есть периодический или постоянный электрический ток, устанавливающийся в электрической сети после окончания переходного процесса при воздействии на цепь периодических или постоянных ЭДС или напряжений.

Установившийся ток имеет место в цепи после окончания переходного процесса, когда составляющая i_cв станет равной нулю, соответствует режиму, который установится в цепи под воздействием приложенного напряжения (ЭДС) u(t) источника питания и его существование обусловлено энергией этого источника.

Свободный электрический ток есть электрический ток, равный разности переходного и установившегося токов, существует в цепи только в течение времени переходного процесса и обусловлен запасом энергии в реактивных элементах до момента коммутации (при отключенных источниках питания цепи).

Переходный процесс описывается полным током в цепи i, представляющим собой сумму свободного i_cв иустановившегося i_y -токов, поэтому решение уравнения (13.4) связано с определением этих составляющих тока.

Рассмотрим основные рекомендации по отысканию каждой из составляющих тока.

Определение установившегося тока. Составляющая i_y есть частное решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения вида (7.4):

(13.6)

В математике эту составляющую определяют методом подбора функции по виду правой части, таким образом, чтобы её подстановка в уравнение обращала последнее в тождество.

В электротехнике такой подбор упрощается по следующим причинам:

- часть функции i_y можно сформировать на основе понимания физических процессов в цепи;

- i_y можно получить обычным расчетом цепи в установившемся режиме её работы.

Определение свободного тока. Составляющая i_cв есть общее решение однородного (без правой части) дифференциального уравнения (13.2) вида:

(13.7)

Из математики известно, что решение подобного уравнения n-й степени относительно i_cв имеет вид:

(13.8)

где А₁, А₂,…, А_n - постоянные интегрирования;

Р₁, Р₂,…, Р_n – корни характеристического уравнения, получаемого из однородного дифференциального уравнения заменой в нем производных на Р в степени, равной порядку производной.

Для дифференциального уравнения второго порядка (13.7) решение в общем случае и характеристическое уравнение имеют вид:

(13.9)

и

.

Для реальных пассивных электрических цепей корни характеристического уравнения могут быть вещественными, отрицательными и комплексно сопряженными с отрицательными вещественными частями.

Отрицательные значения вещественных корней и вещественных частей корней обусловлены потерями энергии в реальных цепях, что математически выражается экспоненциально убывающими зависимостями свободного режима от времени (е^-αt). Характер свободного режима не зависит от действующих в цепи источников и определяется лишь параметрами цепи (решением характеристического уравнения).

В случае вещественных и разных корней характеристического уравнения решение имеет вид (13.9).

В случае вещественных и равных корней:

. (13.10)

В случае комплексно-сопряженных корней:

(13.11)

где

А₁, В₁, В₂ и φ – также постоянные интегрирования.

Для цепи первого порядка решение имеет вид:

. (13.12)

Определение постоянных интегрирования является самой трудоёмкой операцией при использовании классического метода, при этом число постоянных интегрирования равно порядку уравнения.

Дата добавления: 2015-11-03