Под постоянное напряжение

Исходные предпосылки. К рассматриваемому типовому варианту переходного процесса в последовательной RL – цепи сводится большое количество задач по подключению к источникам постоянных напряжений обмоток электрических машин и различных электромагнитных аппаратов (электромагнитных реле, индуктивных катушек и дросселей, электромагнитов, контакторов и других устройств).

Характер переходных процессов в таких цепях рассмотрен далее на примере решения одной из практических задач.

Условия задачи Электромагнит Е с известными параметрами - активным сопротивлением обмотки r и её индуктивностью L – подключается к химическому источнику постоянной ЭДС GB и напряжением на его зажимах U. Принципиальная электрическая схема цепи представлена на рис.13.7 а). До подключения цепи к источнику ток в цепи отсутствовал. Требуется определить переходный ток в цепи и переходные напряжения на элементах цепи.

РЕШЕНИЕ

Решение задачи выполняется в соответствии с рассмотренным выше алгоритмом расчета.

1.Составляем расчетную схему замещения цепи, определяем начальные условия коммутации.

Схема замещения цепи представлена на рис. 13.7 б). Начальные условия коммутации- нулевые (по условию), т.е. i(0)=0.

а)

Рис.13.7

2. Составляем систему уравнений, описывающих процессы в цепи:

(13.13)

3. Систему уравнений преобразуем к одному неоднородному дифференциальному уравнению:

(13.14)

4. На основе дифференциального уравнения (13.14) записываем и решаем характеристическое уравнение цепи:

5. Записываем решение для свободного тока с учетом выражения(13.12)и решения характеристического уравнения:

(13.15)

6. Определяем установившийся ток в цепи i_y. Из физических соображений установившийся ток в данной цепи – это постоянный ток по окончанию переходного процесса, т.е.:

(13.16)

Для проверки подставим значения i_y в уравнение (7.14). Если при этом оно обращается в тождество, то i_y найден правильно. Имеем:

7. Записываем уравнение переходного тока как сумму установившегося и свободного тока:

. (13.17)

8. Определяем постоянную интегрирования А из начального условия коммутации на основе первого закона коммутации. Для этого уравнение (7.17) записываем для момента коммутации t=0, для которого i(0)=0 (по первому закону коммутации), т.е.:

Свободный ток (13.15) примет вид:

9. Записываем в окончательном виде уравнение переходного тока. Обозначив имеем

(13.18)

где I – максимальное значение тока; τ – постоянная времени цепи.

Переходное напряжение на резистивном элементе получаем на основе закона Ома с учетом (13.18):

(13.19)

где U – максимальное напряжение на резистивном элементе, равное напряжению на входных зажимах цепи.

Переходное напряжение на индуктивности определяется на основе третьего уровня системы (13.13) с учетом (13.18):

. (13.20)

10. Анализ характера переходного процесса может быть выполнен как непосредственно по уравнениям переходных тока и напряжений (13.18) – (13.20), так и по графикам этих функций, построенным в удобном масштабе (рис.13.8, а, б).

Ur

U_L

а) б)

Рис. 13.8

По результатам анализа уравнений и графиков можно сделать следующие выводы о характере переходного процесса при подключении последовательной RL - цепи под постоянное напряжение:

а) переходный ток в цепи и переходные напряжения на её элементах изменяются по экспоненциальным законам;

б) переходный ток в цепи в момент коммутации не имеет скачка и начинает после коммутации нарастать плавно от значения, предшествовавшего непосредственно моменту коммутации, т.е. от нуля. Это означает, что первый закон коммутации выполняется;

в) в цепи наблюдается скачок напряжения на индуктивности за счет проявления индуктированной ЭДС в обмотке, пропорциональной скорости изменения тока, т.е.:

О длительности переходного процесса можно судить, рассмотрев предварительно очень важный параметр цепи- постоянную времени τ.

Постоянная времени цепи с индуктивностью. Единицей измерения параметра входящего в показатель степени е всех функций переходных электрических величин, является секунда:

Следовательно, параметр τ по физическому смыслу является временем, зависящим от параметров цепи r и L, поэтому τ есть параметр цепи, называемый постоянной времени цепи.

Анализ графиков (рис.13.8) и функций переходных напряжений и тока (13.18) – (13.20) показывает следующее:

а) от значения τ зависят кривизна кривых и время их нарастания до установившегося значения или спадания до нуля, следовательно, от постоянной времени цепи τ зависит время переходного процесса;

б) чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходный процесс.

На практике принято считать переходный процесс законченным при:

(13.22)

При t=3 τ ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t=5 τ – более 99%.

Графически постоянную времени τ можно определить как интервал времени на оси t от t=0 до точки пересечения касательной к функции переходного напряжения на индуктивности u_L (рис. 13.8,б). В указанный момент времени напряжение u_L уменьшается в e раз по сравнению с начальным.

Следовательно физический смысл постоянной времени цепи τ отражает следующее определение:

Постоянная времени цепи есть величина, характеризующая электрическую цепь, в которой свободный ток является экспоненциальной функцией времени, равная интервалу времени, в течение которого этот ток убывает в e ≈ 2,72 раз, где e – основание натурального логарифма.

Из формулы (13.21) для постоянной времени цепи становится ясным путь желаемого воздействия на длительность переходного процесса: для сокращения времени переходного процесса нужно уменьшить τ, что достигается уменьшением индуктивности L цепи или увеличением её электрического сопротивления r.

---

Дата добавления: 2015-11-03