Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

– комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

– комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей, т.е. сопротивление параллельного соединения двух элементов с сопротивлениями и определяется выражением

. (2.19)

Рис. 2.3. Параллельное соединение двух комплексных сопротивлений

Пример

Сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 2.4, а при R = 10 кОм и С = 100 пФ на частоте f = 80 кГц равно

кОм,

а проводимость параллельной цепи на рис 2.4, б

См.

Рис. 2.4. Последовательное (а) и параллельное (б) соединения

R и C элементов

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(2.20)

Пример 1

Для последовательной цепи на рис. 2.4, а, ее проводимость равна

См.

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

Ом.

Тогда для проводимости получим

См.

Пример 2

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.5 при R ₁ = R ₂ = 1 кОм, С = 1 нФ, ω = 10⁶ рад/с. Определим ее комплексное сопротивление .

Рис. 2.5. Схема для определения полного комплексного сопротивления

В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов R ₂ C и определяется его сопротивление , равное

.

Тогда параллельный фрагмент R ₂ C заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Схема, эквивалентная представленной на рис. 2.5

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

Подставляя исходные данные, получим

Ом.

Полное комплексное сопротивление Z в показательной форме можно записать в виде

. (2.21)

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

. (2.22)

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз между напряжением и током:

, (2.23)

Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид

, (2.24)

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

, (2.25)

а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением:

. (2.26)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

, (2.27)

где R – активная, X – реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (2.27) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 2.5:

.

Как видно, активная R составляющая сопротивления равна

,

а реактивная

,

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активной R и реактивной X составляющих сопротивления для цепи рис. 2.5 показаны на рис. 2.7.

На низких частотах () емкость является разрывом цепи и сопротивление Ом. На высоких частотах () емкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Ом. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.

При рад/с получается ранее вычисленное значение Ом.

а) б)

Рис. 2.7. Частотная зависимость активного (а) и реактивного

(б) сопротивлений

Дата добавления: 2015-11-03