Теоретичні відомості і методичні вказівки

Лабораторна робота №2 - Точні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Мета і задачі:

Закріпити вивчення методів Гауса, Гауса-Жордана та Крамера розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, створити програму для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь точними методами в середовищі Еxcel

Теоретичні відомості і методичні вказівки

Теоретичний матеріал, що є основою для виконання студентом завдань лабораторної роботи викладений в Лекції №3.

Метод Гауса. Ідея методу полягає в наступному. Дана система лінійних рівнянь з n невідомими. Застосовуючи лінійні перетворення рівнянь, систему приводимо до еквівалентної трикутної системи вигляду

В цій системі спочатку з останнього рівняння визначається величина n-ної невідомої, а потім послідовною підстановкою визначаються величини решти невідомих.

Для виключення х₁ до кожного рівняння, крім першого, додаємо перше рівняння домножене на (-а_j1/a₁₁). Аналогічно виключаємо другу невідому. Домножаємо друге рівняння на (-а’_j2/a’₂₂).

Метод Гауса-Жордана. Метод полягає у наступному. Вибираємо розв’язувальний елемент. Всі елементи розв’язувального рядка ділимо на розв’язувальний елемент. Всі елементи розв’язувального стовпця обнуляють. Решту елементів розраховуємо за формулою прямокутника.

, отримаємо

де a'₂₂ = a₁₁ × a₂₂ – a₂₁ × a₁₂, a'₂₃ = a₁₁ × a₂₃ – a₂₁ × a₁₃, a'₃₂ = a₁₁ × a₃₂ – a₃₁ × a₁₂, інші коефіцієнти нової системи визначаються за аналогічними формулами.

Метод Крамера. Метод зручний для використання в матричному вигляді. Для виявлення коренів системи використовують поняття визначника матриці.

Знаходять визначник матриці коефіцієнтів А – det A. Перший стовпчик матриці А замінюють на стовпчик вільних членів і для такої нової матриці знаходять визначник det А₁, аналогічно замінюють інші стовпчики і отримують det А₂, …, det А_n. Тоді корені системи визначаються х₁ = det А₁ / det А, х₂ = det А₂ / det А, …, х_n = det А_n / det А.

В пакетах прикладних математичних програм та в середовищі Excel є стандартний оператор для визначення визначника матриці, наприклад, в середовищі Excel це МОПРЕД(границі матриці).

Дата добавления: 2015-10-28