Структурні формули кінематичних ланцюгів

Основи теорії структури кінематичних ланцюгів закладені у пра­ці видатного російського вченого професора П. І. Сомова, опуб­лікованій у 1887 р., і розвинуті радянськими вченими.

Раніше було встановлено, що коли на рух ланки у просторі не накладено ніяких умов зв'язку, то вона має шість ступенів вільності. Тоді, якщо число ланок кінематичного ланцюга дорів­нює k, то загальне число ступенів вільності, які мали kланок до їхнього з'єднання у кінематичні пари, дорівнюватиме 6k. Кожна кінематична пара накладає різне число зв'язків на відносний рух ланок, що залежить від класу пари (див. підрозділ 2.3). По­значимо число пар І класу, що входять до складу ланцюга, через р₁, II - р₂, III - р₃, IV - р₄, V - р₅. Клас кінематичної пари ви­значається числом умов зв'язку, які накладає кожна кінема­тична пара на відносний рух ланок. Для визна­чення загального числа ступенів вільності ланок кінематичного ланцюга треба з 6k ступенів вільності, що їх ланки мали до того, як увійшли до кінематичної пари, вилучити ті ступені вільності, які віднімають кінематичні пари. Одна па­ра І класу накладає на відносний рух ланок одну умову зв'язку (S = 1), II класу - дві (S = 2) і т. д. Тоді число ступенів вільності H, що їх має кінематичний ланцюг, становить

Н = 6k - 5р₅ - 4р₄ - 3 p₃ - 2р₂ - р₁. (2.4)

Оскільки в механізмах одна ланка нерухома, то при вив­ченні руху всіх ланок механізму їхні абсолютні переміщення розглядаємо як такі, що відбуваються відносно однієї з ланок, прийнятої за нерухому. Якщо одна з ланок кінематичного лан­цюга буде нерухомою, то загальне число ступенів вільності ла­нок ланцюга зменшиться на шість, тобто число ступенів вільності (рухомості) відносно нерухомої ланки

W = Н - 6. (2.5)

Підставляючи у (2.5) замість Н його вираз з (2.4), одержуємо

W = 6(k- 1) - 5p₅ - 4р₄ - З p₃ - 2р₂ - р₁. (2.6)

Якщо в (2.6) величину k -1 позначити через n, то

W = 6n - 5р₅ - 4р₄ - 3p₃ - 2р₂ - р₁, (2.7)

де n - число рухомих ланок кінематичного ланцюга.

Формула (2.6) має назву формули рухомості або структурної формули кінематичного ланцюга загального вигляду.

Формула (2.7) вперше, у дещо іншому вигляді, була одержа­на професором П.І.Сомовим і розвинута професором А.П.Малишевим, і тому носить назву формули Сомова-Малишева.

Застосування цієї формули можливе тільки у тому випадку, коли на рухи ланок, які входять до складу механізму, не накла­дено будь-яких загальних додаткових умов. Ці умови, загальні для всього механізму в цілому, можуть бути дуже різноманіт­ними. Так, можна поставити вимогу, щоб у механізмі, який складається з самих обертових пар V класу, осі всіх цих пар бу­ли паралельні, перетиналися в одній точці або перетиналися у двох точках і т. п. Виявляється, що такі додаткові вимоги істот­но змінюють характер руху механізму і змінюють відповідно вигляд структурної формули механізму.

Нехай, наприклад, у механізмі, який складається з оберто­вих пар V класу, осі всіх пар паралельні (рисунок 2.24).

Рисунок 2.24 – Осі всіх обертових пар механізму паралельні

Виберемо систему координат хуz так, щоб напрямок осі х збігався з напрямком осей пар, а осі у і z лежали у площині, перпендикулярній до осей пар. Тоді неважко переконатися, що в цьому випадку ланки механізму ОАВС рухатимуться паралель­но загальній площині, яка містить осі у і z, тобто маємо так зва­ний плоский механізм.

Які загальні обмеження накладено на рухи всіх ланок ме­ханізму умовою паралельності осей усіх кінематичних пар? Ці обмеження будуть такими. Ланки механізму не можуть мати обертового руху навколо осей у і z і поступального руху вздовж осі х, тобто з шести можливих рухів три не можуть бути здійсненими.

Якщо на рух усіх ланок механізму в цілому накладено три загальні обмеження, то, очевидно, цю обставину треба взяти до уваги, підраховуючи ступені вільності окремих ланок і рухомості механізму в цілому. Справді, якщо в загальному випадку число ступенів вільності рухомих ланок механізму дорівнює 6n, то для плоского механізму: (6 - 3) n = 3n, тобто тіло в плоскому русі має три ступеня вільності (два поступальні вздовж осей у і z, один обертовий навколо осі х). Відповідно з п'яти зв'язків, які накла­дає пара V класу, у цьому механізмі вона накладати­ме тільки 5 - 3 = 2, оскіль­ки три зв'язки вже накладено умовою паралельності осей пар і т. п. Тоді структурна форму­ла механізму (2.7) перепишеться так:

W = (6 – 3) n – (5 – 3)p₅ – (4 – 3)p₄ – (3 – 3)p₃ ,

тобто ступені вільності (рухомості) плоского механізму

W = 3n – 2p₅ – p₄. (2.8)

Це є структурна формула для плоских механізмів загального вигляду, або формула Чебишова.

До складу плоских механізмів можуть входити тільки пари IV і V класів, причому пари IV класу - вищі, V - нижчі.

З наведеного прикладу видно, що коли на рух усіх ланок механізму в цілому накладено якесь загальне для всього ме­ханізму число зв'язків, то число цих загальних зв'язків із струк­турної формули механізму (2.7) треба вилучити, віднявши число цих зв'язків із числа ступенів вільності всіх рухомих ланок ме­ханізму і з числа умов зв'язку всіх кінематичних пар, що вхо­дять до складу механізму.

Залежно від числа вказаних загальних зв'язків, накладених на рух усіх ланок механізму, всі механізми ділять на п'ять сімей. Номер сім'ї визначається числом цих загальних зв'язків.

Член-кореспондент АН СРСР В.В.Добровольський у 1943 р. вивів загальну структурну формулу механізмів

(2.9)

де т - кількість загальних зв'язків, накладених на рух ланок механізму (т= 0...4);

k - клас кінематичної пари (k = 1...5).

Тепер з'ясуємо, який зв'язок існує між ступенями вільності Wі визначеністю руху ланок механізму. Для цього розглянемо два приклади. На рисyнку 2.25 зображено схему чотириланкового кінематичного ланцюга, до складу якого входять три рухомі ланки (n = 3), чотири обертові кінематичні пари V класу (р₅ = 4). Тоді ступені вільності такого кінематичного ланцюга можна визначити за формулою Чебишова (р₄ = 0):

W = 3 n – 2p₅ – p₄ = 3× 3 – 2× 4 – 0 = 1.

Якщо будь-якій ланці, наприклад АВ, надати закон руху, у даному випадку обертового, то всі інші ланки ВС і СD будуть мати також цілком визначений рух.

Як відомо, положення твердого тіла, яке вільно рухається у просторі, визначається шістьома незалежними координатами. їх прийнято називати узагальненими, оскільки вони визначають положення всього твердого тіла. Аналогічно узагальненими коор­динатами механізму називають незалежні між собою лінійні або кутові координати, які визначають положення всіх ланок ме­ханізму відносно стояка. У даному випадку (рисунок 2.25) за уза­гальнену координату можна прийняти кут повороту кривошипа j₁, оскільки положення ланки 1 визначає положення всіх інших рухомих ланок шарнірного чотириланкового механізму.

Рисунок 2.25

Ланка, якій приписують одну або кілька узагальнених коор­динат, називається початковою. Цей термін пов'язаний з тим, що знаходження положень усіх ланок механізму починають із знаходження положень початкових ланок.

Рисунок 2.26

Для кінематичного ланцюга, схему якого наведено на рисунку 2.26, ступінь вільності (n = 4, р₅ = 5, р₄ = 0):

W = 3 × 4 – 2 × 5 – 0 = 2.

Якщо у цьому ланцюзі задано лише положення ланки АВ, то очевидно, що положення решти рухомих ланок буде невизначеним. Коли ж задати ще положення іншої ланки, наприклад ланки 4, кутом j₄, то всі ланки механізму будуть мати цілком визначений рух. Отже, у механізмі, що наведений на рисунку 2.26, повинно бути дві початкові ланки.

Таким чином, ступені вільності кінематичного ланцюга відносно стояка визначають кількість початкових ланок механізму. Останні можуть збігатися із вхідними ланками механізму, а можуть і не збігатися. Добір початкової ланки визначається зручністю визна­чення положень ланок механізму і зручністю його аналізу.

На основі наведеного можна показати, як із кінематичного ланцюга одержати механізм. Для цього необхідно одну з ланок ланцюга зробити нерухомою (стояком), підрахувати ступені вільності і залежно від їхньої кількості одній або кільком ланкам задати закон руху (див. рисунки 2.25, 2.26).

Початкові ланки надалі будемо показувати круговими (або прямими) стрілками.

---

Дата добавления: 2015-10-24