Примеры решения задач

Индивидуальные задания

«Строительство» бакалавры (1-ый семестр)

МЕХАНИКА

1. Кинематика и динамика поступательного движения

– вектор средней скорости;

– средняя скорость вдоль траектории;

– вектор мгновенной скорости;

– величина мгновенной скорости;

– проекция вектора скорости на ось OX;

– вектор среднего ускорения;

– мгновенное ускорение;

a_х = – проекция вектора ускорения на ось OX;

– закон сложения скоростей;

и – радиус - вектор и вектор скорости материальной точки при равнопеременном движении;

– величина тангенциального (касательного) ускорения;

– величина нормального (центростремительного) ускорения;

– вектор полного ускорения при криволинейном движении;

– модуль вектора полного ускорения;

; () – второй закон Ньютона;

– вектор импульса тела;

– третий закон Ньютона;

– закон всемирного тяготения;

; ; – силы: тяжести, упругости и трения;

– вес тела;

- вектор напряженности гравитационного поля;

– плотность тела;

– радиус-вектор центра масс.

Примеры решения задач

Задача 1.

Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0,8t³. Определить проекцию векторов скорости и ускорения тела на ось ОХ в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 с движения.

Решение

Вектор скорости определяется соотношением:

,

а его проекция на ось ОХ – это производная координаты по времени :

. (1)

Учитывая, что , получим

. (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем проекцию на ось ОХ вектора скорости и ускорения в начальный момент времени :

=5 м/с, =0 м/с².

Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1):

.

Тогда величина среднего ускорения

Ответ: =5 м/с; =0 м/с²; =12 м/с².

ИДЗ № 1

1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 28 м/с. Определить наибольшую высоту и время подъема?

2. Зависимость координаты прямолинейно движущегося тела от времени дается уравнением x = 9t – 6t² + t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения.

3. Зависимость координаты тела, движущегося вдоль оси ОХ, от времени дается уравнением x = 16 – 9t² + 2t³. Найти среднее значение модуля скорости и величину среднего ускорения тела в интервале времени от 1с до 4с.

4. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси ОХ. Уравнение ее движения имеет вид: x = 2 + 3t + 0,01t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Найти скорость и ускорение материальной точки в начальный момент времени и через 10 с от начала движения?

5. Движение двух материальных точек описывается уравнениями:

x₁ = 20 + 2t – 4t² и x₂ = 2 + 2t + 0,5t² (координаты в метрах, время в секундах). В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

6. Скорость тела, движущегося вдоль оси ОХ, выражается соотношением = 9 – t². Найти пройденный путь S и модуль перемещения тела через 9 с от начала движения.

7. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50м. Длина пути автомобиля выражается уравнением S=10+10t+0,5t² (путь – в метрах, время – в секундах). Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 5 с после начала движения.

8. Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см по закону S=10t–0,1t³ (путь в метрах, время в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 2 с после начала движения.

9. По дуге окружности радиуса 10 м движется материальная точка. В некоторый момент времени ее нормальное ускорение равно 5 м/с², а вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60⁰. Найти скорость и тангенциальное ускорение данной точки.

10. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=0,14 м/с², D=0,01 м/с³. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с²? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

11. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением S=0,1t³ (путь – в метрах, время – в секундах). Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент времени, когда линейная скорость точки равна 0,3 м/с.

12. Кинематическое уравнение движения материальной точки, движущейся вдоль оси ОХ, имеет вид х=Аt+Bt². Найти скорость и ускорение точки через 10 с после начала движения, если А = 3 м/с, В = 1 м/с².

13. Автомобиль движется по закруглению радиусом 500м с тангенциальным ускорением 0,05 м/с². Определить его нормальное и полное ускорение в тот момент времени, когда его скорость равна 5 м/с.

14. Космический корабль массой = 10⁵ кг поднимается вертикально вверх, сила тяги его двигателей = 3∙10⁶ Н. Чему равно его ускорение?

15. Тело массой 2 кг движется прямолинейно, при этом зависимость пройденного пути от времени определяется законом , где все величины выражены в СИ. Найти силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

16. Определить напряженность гравитационного поля на высоте h = 1000 м над поверхностью Земли.

17. Тело массой = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением , где С = 5 м/с², D = 1 м/с³. Найти величину силы, действующей на тело в конце первой секунды движения.

18. На брусок массой m = 5 кг в горизонтальном направлении действует сила F = 20 Н. Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения с горизонтальной поверхностью k = 0,4.

19. Определить скорость движения автомобиля перед торможением, если длина следа заторможенных колес оказалась равной = 25 м. Коэффициент трения покрышек о покрытие дороги k = 0,3.

20. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 2 м/с, прошел до полной остановки расстояние 20,4 м. Найти коэффициент трения камня по льду.

21. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем координата изменяется по закону x=A–Bt+5t²–t³ (время – в секундах, координата – в метрах). Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

22. Брусок массой 200 г движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения привязанной к ней нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок и привязана к другому, падающему бруску массой 300 г. Определить силу натяжения нити, если коэффициент трения равен 0,25. Масса блока ничтожно мала.

23. Тело массой m = 100 кг поднимают по наклонной плоскости с ускорением = 2 м/с². Какую силу, параллельную наклонной плоскости, необходимо приложить для подъема тела. Коэффициент трения k = 0,2, угол наклона a = 30⁰.

24. Тело массой m = 50 кг тянут равномерно по полу с помощью веревки, образующей угол a = 30⁰ с полом. Коэффициент трения k = 0,4. Определить силу, под действием которой движется тело.

25. Молекула массой кг, летящая со скоростью 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом 60⁰ к нормали и под таким же углом упруго отскакивает от нее. Найти импульс силы, полученный стенкой за время удара.

2. Кинематика и динамика вращательного движения

– вектор угловой скорости;

– вектор углового ускорения;

– величина тангенциального (касательного) ускорения;

– величина нормального (центростремительного) ускорения;

– вектор полного ускорения;

– модуль вектора полного ускорения;

; ; – связь линейных (путь, скорость, тангенциальное ускорение) и угловых (угловой путь, угловая скорость, угловое ускорение) величин;

– угловой путь;

– связь угловой скорости с частотой и периодом вращения;

; ; ; - угловая координата, угловой путь и угловая скорость при ε = const;

; – момент силы относительно неподвижной точки;

; ; – момент инерции твердого тела и материальной точки относительно оси Z;

; ; ; ; – моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр С масс;

– момент инерции стержня относительно оси Z, проходящей через его конец перпендикулярно длине;

– теорема Штейнера;

– уравнение динамики вращательного движения;

; – вектор момента импульса материальной точки, твердого тела;

() – уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

---

Дата добавления: 2015-10-24