Читайте также:
|
Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке 
, то она в ней непрерывна.
Доказательство. Функция у=f(x) дифференцируема в точке ,следовательно существует:
В этом случае 
,откуда получаем
,
Следовательно 
,
Т.е у=f(x) непрерывна в точке .
Таким образом, дифференцируемость функции есть достаточное условие непрерывности функции (из дифференцируемости функции следует её непрерывность).
Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности не вытекает дифференцируемость функции.
Например, у=|х|. (Рис.7.2.3)
Рис.7.2.3
Найдем 
.
Если 
>0, то 
Если <0,то 
.
не существует.
Функция у= 
в точке х=0 непрерывна, но не дифференцируема (нет единственной касательной). Непрерывность- необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости.
Рис 7.1.4
Функции, представленные на рис 7.1.4 не дифференцируемы, в точках 
хотя и непрерывны.
Условие дифференцируемости соответствует условию гладкости кривой.
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Задача 3. Линейная плотность стержня при неравномерном распределении массы. | | | Производная сложной функции. |