Задача 3. Линейная плотность стержня при неравномерном распределении массы.

p(x )= pср = (7.3)

Задача 4. О касательной к кривой.

Пусть точка М (х у ) принадлежит кривой у=f(x). М(х,у)-произвольная точка на кривой. Пусть Δх → 0. Тогда х → х и точка М по кривой приближается к точке М .Секущая М М поворачивается вокруг точки М , стремясь занять положение касательной М Т.

В этом случае α→ φ, tg

Kkac= (7.4)

Рассматривая четыре различные по смысловому содержанию задачи, обнаруживаем, что они совершенно одинаковы по математической структуре: находим

1. Значение некоторой величины в начальный момент(или в начальной точке);

2. Приращение этой величины в зависимости от приращения аргумента( S, );

3. Среднюю скорость изменения этой величины ();

4. Переходим к пределу.

Эти пределы играют чрезвычайно важную роль в математическом анализе и вообще в математике, являясь основным понятием теории дифференциального исчисления.

Замечание. Любое изменение одной величии относительно другой можно понимать как движение (прогресс).

Под скоростью движения понимается изменение одной величины, отнесенное к единице другой величины.

Рассмотрим произвольную функцию y=f(x).

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х и некоторой её окрестности. Если аргумент х получил приращение х, то функция получила приращение у.

Согласно схеме (1)-(4)можно составить отношение .

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю(если этот предел существует) называется производной функции f(x).

(7.5)

Операция отыскания производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая в точке х производную, называется дифференцируемой в этой точке. Раздел математики, занимающийся теорией производных, называется дифференциальным исчислением.

В соответствии с определением производной и пределами (1)-(4) следует:

V()= ; ρ k=

(7.6)

Из (7.6) следует:

· С механической точки зрения: -мгновенная скорость движения в момент времени ;

· Экономический смысл производной: -мгновенная производительность труда ;

· Геометрический смысл производной: - угловой коэффициент касательной к кривой в точке М .

Уравнение касательной к кривой в точке М имеет вид:

. (7.7)

Дата добавления: 2015-10-02