Розв’язати задачу.

1. Треба виготовити конічну лійку, твірна якої дорівнює . Яка повинна бути висота лійки, щоб її об’єм був найбільшим?

2. На параболі знайти точку, найближчу до точки .

3. У конус, радіус основи якого , а висота см, треба вписати циліндр, який має найбільшу площу повної поверхні. Визначити радіус циліндра.

4. Електрична лампочка висить над центром круглого столу. На яку висоту треба її підняти, щоб вона найбільш яскраво освітлювала предмет, що лежить на столі на відстані від центру? Відомо, що яскравість освітлення прямо пропорційна синусу кута , який утворює промінь, що падає на предмет, з кришкою столу, та обернено пропорційна квадрату відстані предмету від джерела світла, тобто .

5. Міцність прямокутної балки пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Знайти розміри найбільш міцної балки, яку можна вирізати з циліндричної деревини, діаметр котрої .

6. Число розбити на три доданки так, щоб другий доданок був у два рази більшим за перший, та щоб сума квадратів усіх трьох доданків мала найменше значення.

7. Знайти розміри циліндру, який при заданому об’ємі мав би найменшу повну поверхню.

8. З прямокутного листа ; ) треба виготовити відкриту зверху коробку. Для цього по кутах листа вирізають рівні квадрати та потім загинають отримані краї. Які квадрати треба вирізати, щоб отримати коробку найбільшої ємності?

9. Відкритий зверху чан циліндричної форми повинен мати ємність . Якими повинні бути розміри чану, щоб на його виготовлення була витрачена найменша кількість матеріалу?

10. Потрібно виготовити відкритий циліндричний резервуар об’ємом . Вартість матеріалу, з якого виготовляється дно, в разів більша вартості матеріалу для бокової поверхні. При яких розмірах резервуару вартість матеріалу буде найменшою?

11. У трикутник з основою та висотою вписано прямокутник найбільшої площі. Знайти площу цього прямокутника.

12. З трьох однакових дощок шириною треба зробити жолоб, поперечний переріз якого мав би форму трапеції. Яким повинен бути кут при більшій основі, щоб площа поперечного перерізу була б найбільшою?

13. У кулю радіусу вписати конус найбільшого об’єму.

14. Споруджується палатка у формі конуса. Для цього використовуються жердини довжиною . Якої висоти повинна бути палатка, щоб вона була найбільш місткою?

15. Переріз тунелю являє собою прямокутник з півколом, що примикає до нього. Площа перерізу дорівнює . Якими повинні бути розміри перерізу, щоб його периметр був найменшим?

16. Внутрішній опір гальванічного елементу дорівнює . При якому зовнішньому опорі потужність струму, який отримується від цього елементу у зовнішньому колі, буде найбільшою? (Потужність ).

17. Сторінка книги має площу . З технічних умов ширина полів зверху та знизу тексту повинна бути , а зліва та справа – Яким повинно бути відношення розмірів сторінки, щоб площа її, яка зайнята текстом, була найбільшою?

18. На відрізку прямої лінії, який з’єднує два джерела світла, потрібно знайти найменш освітлену точку за умови, що обидва джерела мають одну й ту ж силу світла. (Вказівка. Освітленість прямо пропорційна силі джерела світла та зворотно пропорційна квадрату відстані, на якій він знаходиться).

19. Які розміри повинен мати циліндр, поверхня якого дорівнює , щоб його об’єм був найбільшим?

20. Парканом довжиною треба огородити прямокутний майданчик найбільшої площі, який прилягає до будинку. Визначити розміри цього майданчику.

21. У яке коло можна вписати прямокутник найбільшої площі з периметром, що дорівнює ?

22. Бокові сторони та менша основа трапеції мають однакову довжину – по . Знайти розмір її більшої основи, при якому площа трапеції була б найбільшою.

23. Потрібно виготовити закритий циліндричний бак об’ємом . Якими повинні бути його розміри, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

24. Число розбити на три таких доданки, щоб два з них відносились як : , а добуток трьох доданків був би найбільшим.

25. Круговий майданчик, радіус якого , потрібно освітлити одним світильником, який підвішено у її центрі На якій висоті треба підвісити світильник, щоб освітленість межі майданчику була найбільшою? (Вказівка. Освітленість , де - коефіцієнт пропорційності; - кут між променем та освітлюваною поверхнею; - висота джерела світла).

26. Переріз шлюзового каналу має вид прямокутника, який закінчується півколом. Периметр перерізу дорівнює . При якому радіусі півкола переріз буде мати найбільшу площу?

27. Резервуар ємністю з квадратною основою, відкритий зверху, треба покрити оловом. Якими повинні бути розміри резервуару, щоб витратити для цього найменшу кількість олова?

28. Яким повинен бути радіус кола, для того, щоб прямокутник з периметром , що вписаний у коло, мав найбільшу площу?

29. Знайти найбільший об’єм циліндра, у якого периметр осьового перерізу дорівнює .

30. З пунктів та , відстань між якими , у напрямах, що вказані стрілками (див. малюнок), починають одночасно рухатись мотоцикліст зі швидкістю та велосипедист зі швидкістю . Коли відстань між ними виявиться найменшою?

Дата добавления: 2015-10-02