Пример 6

Определить координаты огневой позиции (ОП). Схема засечки по обратным дирекционным углам приведена на рис.18.

На местности измерены азимуты по ориентирам:

А_m1 = 5-91; A_m2 = 12-74; A_m = 19-92.

С карты определена поправка буссоли: DА_m = + 0-21.

.

Рис.18. Схема обратной засечки по обратным дирекционным углам:

а - на местности; б - на карте

Решение

1. Вычисляем обратные дирекционные углы с ориентиров на вычисляемую точку (ОП):

a _обр1 = [5-91 - (0-21)] ± 30-00 = 36-12;

a _обр2 = [12-74 - (0-21)]± 30-00 = 42-95;

a _обр3 = [19-92 - (0-21)]± 30-00 = 50-13.

2. По карте откладываем с ориентиров дирекционные углы.

3. Определяем координаты огневой позиции, приняв ее положение на карте за точку пересечения линий дирекционных углов, проведенных с ориентиров:

X_ОП = 6020680; Y_ОП =3454000.

Разновидностью засечки по обратным дирекционным углам является определение координат с помощью восковки или кальки (способ Болотова).

Порядок работы в этом случае следующий (рис.19):

- выбирают на местности не менее трех контурных точек, имеющихся на карте (аэроснимке) и наблюдаемых на местности с привязываемой точки;

- устанавливают прибор (например, буссоль) на привязываемой точке А и измеряют углы a и b между выбранными контурными точками;

- с помощью хордоугломера или артиллерийского круга АК-3 строят на восковке или на кальке измеренные на местности углы a и b;

- накладывают восковку (кальку) на карту (аэроснимок) так, чтобы прочерченные на ней направления проходили через соответствующие контурные точки карты (аэроснимка);

- накладывают вершину угла (точку А) на карту (аэроснимок) и определяют координаты привязываемой точки.

Рис.19. Обратная засечка способом Болотова:

а - работа на местности; б - работа на карте

Обратной засечкой по измеренным углам называется способ оп­ределения координат точки Р (рис.20) по координатам трех исходных пунктов А, В и С и углам α и β, измеренным на определяемой точке между направлениями на исходные пункты.

Рис. 20. Обратной засечкой по измеренным углам

Для контроля полевых измерений и вычислений дополнительно измеряется угол γ между направлениями на пункт А и на четвертый исходный пункт D.

Взаимное расположение исходных пунктов и определяемой точки влияет на точность координат, а в некоторых случаях задача вообще не имеет решения.

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения исходных пунктов А, В и С и определяемой точки Р (рис.21). Если провести окружность через пункты А, В и С, то точка Р может оказаться внутри треугольника АВС, положение Р₁;

- вне треугольника, напротив одной из его вершин, положение Р_2;

- вне треугольника, напротив одной из его сторон внутри окружности,

положение Р₃;

- вне окружности, положение Р₄;

- на окружности, положение Р₅.

Выведем формулы решения обратной засечки для случая, когда точка Р находится внутри треугольника АВС (рис.22), и из их анализа сделаем вывод о возможности решения задачи в зависимости от положения точки Р.

Рис. 21. Схема различных случаев взаимного расположения исходных пунктов А, В, С и определяемой точки Р

Рис..22. Решение обратной засечки по измеренным углам при нахождении определяемой точки внутри треугольника АВС

Решением обратных геодезических задач по координатам пунктов А, В и С определим длины и дирекционные углы сторон АВ и ВС треугольника АВС:

;

;

;

.

Найдём величину В в четырёхугольнике АВСР: В = (АВ) - [ (ВС) ±180⁰ ].

Обозначим ВАР через φ, ВСР через ψ.

Если найдём величины углов φ и ψ, то координаты точки Р получим решением двух прямых засечек по треугольникам АВР и ВСР. Из четырехугольника АВСР:

.

Определим полуразность углов φ и ψ. Для этого составим два уравнения:

Из треугольника АВР ;

и из треугольника ВСР ; . (22)

Левые части уравнений (22) равны, поэтому

.

Сделаем перестановку .

Обозначим

тогда

Представим это равенство в виде

Составив производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения относится к их разности, как сумма членов второго отношения - к их разности:

. (23)

Преобразуем правую и левую части полученного равенства:

;

.

После преобразования равенство (23) примет вид

,

откуда

или . (24)

Полусумма и полуразность углов φ и ψ дают нам возможность определить эти углы:

; .

Вычисляем дирекционные углы (АР), (ВР) и (СР):

(АР) = (АВ) + φ;

(ВР) = (АВ) – (α+ φ) = (ВС) + (180⁰ – β + ψ);

(CH) = (DC) ±180⁰ – ψ.

Определяем длины сторон , и :

;

;

.

Решением прямой геодезических задач по направлениям АР, ВР и СР находим координаты пункта Р:

Х_p = Х_A + cos(AP); У_p = У_A + sin(AP).

Х_p = Х_B + cos(BP); У_p = У_B + sin(BP).

Х_p = Х_C + cos(CP); У_p = У_C + sin(CP).

Проведем анализ формулы (24). Рассмотрим движение точки Р (рис.21) по диаметру окружности, проходящему через пункт В.

С приближением точки Р к пункту В полусумма стремится к нулю. При движении в противоположную сторону полусумма будет увеличиваться и станет равной 90⁰, когда точка Р окажется на окружности (положение Р₅).

Таким образом, в случае наложения точки Р на окружность, проведенную через исходные пункты А, В и С, в правой части формулы (3.24) окажется произведение числа на бесконечность, а это неопределённость и мы не сможем вычислить полуразность углов φ и ψ, а следовательно, и сами углы.

С другой стороны, с приближением точки Р к окружности, а полусуммы к нулю или к 90⁰ тангенсы и котангенсы имеют тенденцию к быстрому увеличению или уменьшению при малом изменении величины угла, что приводит к ошибкам в результатах вычислений. Таким образом, если определяемая точка Р находится на окружности или вблизи окружности, проходящей через исходные пункты, задача не имеет решения или решается ненадёжно.

Надёжное решение задача будет иметь в случае положения точки Р внутри треугольника АВС или вне его против вершин, а также против сторон, но на значительном удалении от окружности.

Контроль полевых измерений и вычислений осуществляется путем сравнения двух дирекционных углов направления на четвертый исход­ный пункт D, один из которых (РD)₁ вычисляется как сумма дирекци­онного угла (РА) и угла γ, связывающего направления РА и РD, а другой (РD)₂ вычисляется по координатам пункта А и вычисленным координатам точки Р:

(РD)₁ = (PA) + γ,

. (25)

Допуск расхождения величин (PD)₁ и (PD)₂ определяется формулой

. (26)

Эта формула получена в предположении, что допустимая величина круговой ошибки в положении точки Р равна 7 м.

.

Формулы (25) и (26) удобны для решения обратной засечки по таблицам логарифмов.

Выведем формулы для решения задач на ЭКВМ.

Обозначим измеренные углы, как показано на рис. 23.

Рис. 23. Схема обратной засечки по измеренным углам для вывода формул для

решения засечки на ЭКВМ

Выпишем формулы для вычисления дирекционных углов (АР), (ВР) и (СР):

; ;

откуда У_Р – У_А = (Х_Р – Х_А) tg (АР);

У_Р – У_В = (Х_Р – Х_В) tg (ВР); (27)

У_Р – У_С = (Х_Р – Х_С) tg (СР).

Но из рис. 3.23

(ВР) = (АР) + α;

(СР) = (АР) + β. (28)

На основании этого перепишем формулы (3.27):

У_Р – У_А = (Х_Р – Х_А) tg (АР);

У_Р – У_В = (Х_Р – Х_В) tg [ (АР) + α ]; (3.29)

У_Р – У_С = (Х_Р – Х_С) tg [ (АР) + β ];

но .

Имея это в виду, преобразуем 2-е из уравнений (29):

У_Р – У_В = (Х_Р – Х_В) ,

откуда У_P ctg α - У_Р tg (АР) - У_В ctg α + У_В tg (АР) =

= Х_Р tg (АР) ctg α +Х_Р - Х_В tg (АР) ctg α - Х_В. (30)

Из уравнения 1 (3.29) следует, что

У_Р = Х_Р tg (АР)-Х_А tg (АР) + У_А.

Подставляя это значение в уравнение (3.30), получим:

У_Аctgα - У_Рtg(АР) - У_Вctgα + У_Вtg(АР) = Х_А tg(АР) ctgα - Х_Вtg(АР) ctgα +Х_Р -Х_В

Или

(У_А -У_В) ctg α - У_Р tg (АР) + У_В tg (АР) = (Х_А -Х_В) tg (АР) ctg α +Х_Р - Х_В. (31)

Аналогично преобразуем 3-е из уравнений (3.29):

(У_А –У_С) ctg β - У_Р tg (АР) + У_С tg (АР) = (Х_А -Х_С) tg (АР) ctg β +Х_Р - Х_С. (32)

Решая уравнения (3.31), (3.32) относительно tg (АР), получим:

( 33)

или . (34)

Дирекционные углы (ВР) и (АР) вычисляют по формулам (28). Дальнейшее решение задачи выполняется по формулам котангенсов дирекционных углов так же, как и в прямой засечке.

Дата добавления: 2015-10-02