Решение задач.

1. Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти законы движения точки, зная приложенные к ней силы, или, наоборот, по известным законам движения определить силы, действующие на материальную точку.

Характерная особенность решения задач механики о движении материальной точки, требующих применения законов Ньютона, состоит в следующем:

а) Представив по условию задачи физический процесс, следует сделать схематический чертеж и указать на нем все кинематические характеристики движения, о которых говорится в задаче. При этом, если возможно, обязательно проставить вектор ускорения.

б) Расставить все силы, приложенные к движущейся материальной точке, в текущий (произвольный) момент времени. Материальную точку нужно при этом изображать отдельно от связей, заменив их действие силами. Связями в механике называют тела (нити, опоры, подставки и т. д.), ограничивающие свободу движения рассматриваемого тела.

в) Следует помнить, что, говоря о движении какого-либо тела, например поезда, самолета, автомобиля и т. д., мы подразумеваем под этим движение материальной точки. Расставляя силы, приложенные к телу, необходимо все время руководствоваться третьим законом Ньютона, помня, что силы могут действовать на это тело только со стороны каких-то других тел: со стороны Земли это будет сила тяжести , со стороны нити — сила натяжения Т, со стороны поверхности силы нормальной реакции и трения F_тp.

Полезно также иметь в виду и то обстоятельство, что для тел, расположенных вблизи поверхности Земли, надо учитывать только силу тяжести и силы, возникающие в местах непосредственного соприкосновения тел.

Силы притяжения, действующие между отдельными телами, настолько малы по сравнению с силой земного притяжения, что во всех задачах, где нет специальных оговорок, ими пренебрегают.

г) Расставив силы, приложенные к материальной точке, необходимо составить основное уравнение динамики:

Далее, пользуясь правилом параллелограмма, следовало бы попарным сложением сил определить величину равнодействующей, выразив ее через заданные силы, и подставить выражение для модуля равнодействующей в исходное уравнение. В большинстве случаев, и особенно когда дается три и более сил, выгоднее поступать иначе: движение частицы (на плоскости) описывать двумя скалярными уравнениями. Для этого нужно разложить все силы, приложенные к частице, по линии скорости (касательной к траектории движения - оси ОХ) и по направлению, ей перпендикулярному (нормали к траектории - оси ОУ), найти проекции F_x и F_y составляющих сил по этим осям и затем составить основное уравнение динамики точки в проекциях:

где а_х и а_у - ускорения частицы по осям.

Положительное направление осей удобно выбирать так, чтобы оно совпадало с направлением ускорения частицы. При указанном выборе осей легко установить, какие из приложенных сил (или их составляющие) влияют на величину вектора скорости, какие - на направление. Само собой разумеется, что, если все силы действуют, но одной прямой или по двум взаимно перпендикулярным направлениям, раскладывать их не надо и можно сразу записывать уравнение динамики в проекциях.

В случае прямолинейного движения материальной точки одно из ускорений (а_х или а_у) обычно равно нулю.

При наличии трения силу трения, входящую в уравнение динамики, нужно сразу же представить через коэффициент трения и силу нормального давления, если известно, что тело скользит по поверхности или находится на грани скольжения. В противном случае пользоваться формулой (2.9) нельзя.

д) Составив основное уравнение динамики и, если можно, упростив его (проведя возможные сокращения), необходимо еще раз прочитать задачу и определить число неизвестных в уравнении. Если число неизвестных оказывается больше числа уравнений динамики, то недостающие соотношения между величинами, фигурирующими в задаче, составляют на основании формул кинематики, законов сохранения импульса и энергии. После того как получена полная система уравнений, можно приступать к ее решению относительно искомого неизвестного.

2. Выписав числовые значения заданных величин в единицах одной системы, принятой для расчета, и подставив их в окончательную формулу, прежде чем делать арифметический подсчет, нужно проверить правильность решения методом сокращения наименований. В задачах динамики, особенно там, где ответ получается в виде сложной формулы, этого правила в начальной стадии обучения желательно придерживаться всегда, поскольку в этих задачах делают много ошибок.

3. Задачи на динамику движения материальной точки по окружности можно разделить на две группы.

Первая группа включает задачи о равномерном движении точки по окружности. Задачи такого типа решают только на основании законов Ньютона и формул кинематики с тем же порядком действий, о котором говорилось в п. 1, но только уравнение второго закона динамики здесь нужно записывать в форме:

Следует при этом помнить, что вектор суммы всех сил, приложенных к частице, направлен по радиусу к центру окружности. Для нахождения этой суммы (модуля центростремительной силы) можно или воспользоваться правилом параллелограмма и, складывая силы попарно, выразить ее через заданные величины, или разложить предварительно все силы по линии радиуса и линии, ей перпендикулярной, а затем найти сумму составляющих по, которая и будет равна искомой сумме действующих сил.

Вторую группу составляют задачи о неравномерном движении, когда по условию задачи точка переходит но дуге окружности с одного уровня на другой. Решение этих задач требует применения не только законов Ньютона, но и закона сохранения энергии. На нескольких примерах мы покажем, как нужно решать такие задачи.

4. Задачи на применение второго закона Ньютона в общем виде:

встречаются сравнительно редко. Как правило, это задачи на соударение тел. При решении таких задач и составлении исходного уравнения особое внимание следует обращать на, векторный характер величин, входящих во второй закон динамики. Общая схема решения задач этого типа такова:

а) Проанализировав условие задачи, нужно сделать чертеж с указанием векторов начального и конечного импульсов частицы и , а также вектора импульса силы .

б) Записать уравнение второго закона Ньютона, обращая внимание на то, что вектор импульса силы всегда равен геометрической разности векторов импульсов частиц и, стало быть, вектор р₂ должен являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .Это обстоятельство полезно иметь в виду и при выполнении чертежа.

Далее можно перейти от векторной записи основного уравнения к скалярной. Пользуясь теоремой косинусов, легко установить, что в общем случае связь между векторами импульсов частицы и вектором импульса силы дается соотношением:

где α - угол между векторами.

в) Затем, как обычно, следует записать математически все дополнительные условия задачи и решить полученную систему уравнений относительно искомого неизвестного.

5. Курс элементарной механики включает задачи динамики системы материальных точек, к которым, прежде всего, относятся задачи о поступательном движении связанных друг с другом тел и задачи на закон сохранения импульса.

Задачи о движении системы связанных материальных точек (например, движение грузов на блоке) можно свести к задаче динамики отдельной материальной точки. Для этого нужно изобразить силы, действующие на каждую материальную точку системы, и составить для нее уравнение второго закона динамики в проекциях. Сами тела, как обычно, следует рассматривать при этом отдельно, свободными от всяких связей, заменяя действие связей силами.

Составив уравнение динамики для каждой материальной точки, мы получим систему уравнений, в которую искомая величина входит одним из неизвестных. Если число неизвестных больше числа уравнений динамики, к ним добавляют формулы кинематики. После этого дальнейшее решение задачи сводится к математическим выкладкам и числовым расчетам. Указанный способ решения следует применять всегда, когда по условию задачи необходимо определить силы, действующие между отдельными телами заданной системы, или когда тела имеют разные ускорения.

В задачах на систему материальных точек возможны случаи, когда движущиеся тела взаимодействуют друг с другом трением и силы трения сообщают телам положительное ускорение. Перед тем как расшифровывать силы трения с помощью формулы (2.9), здесь нужно проанализировать условия задачи и установить, находятся ли соприкасающиеся тела на грани скольжения или нет.

Если по смыслу задачи все тела, принадлежащие к данной системе, имеют одинаковые ускорения и о внутренних силах в условии не спрашивается и они не заданы, основное уравнение динамически можно составлять сразу для всей системы материальных точек, участвующих в движении, не рассматривая тела в отдельности. При составлении уравнения в этом случае необходимо:

а) Расставить внешние силы, действующие на систему. Ими,

как правило, являются силы тяжести Р, сила трения Ртр и различного рода силы тяги. Силы, действующие между отдельными телами движущейся системы, к внешним не относятся и в решении не используются.

б) Составить основное уравнение динамики для системы материальных точек или в форме

или в проекциях

выбрав предварительно оси координат и разложив по ним все внешние силы.

в) Добавить при необходимости к составленному уравнению (уравнениям) формулы кинематики и решить уравнения совместно относительно искомой величины.

В общем случае, если тела, входящие в данную систему, обладают одинаковым ускорением, для составления уравнений динамики систему нужно «разрезать» только в тех местах, где по условию задачи требуется определить внутренние силы.

После этого нужно расставлять силы, действующие на каждую из полученных частей системы, и рассматривать их движение по отдельности.

6. Задачи, требующие применения закона сохранения импульса, включают задачи о разрыве одного тела на части (или, наоборот, о соединении нескольких тел в одно), задачи на удар и задачи о движении одних тел по поверхности других в полностью или частично изолированной системе.

Решая такие задачи, удобно придерживаться следующих правил:

а) Прежде всего нужно установить, является ли рассматриваемая система тел изолированной полностью или же эта система изолирована по какому-либо одному направлению. Следует при этом иметь в виду, что если в системе происходит быстрое изменение импульсов, вызванное взаимодействием тел (удар, взрыв и т. д.), продолжительность взаимодействия считается бесконечно малой. Это упрощающее предположение, хотя оно часто и не оговаривается, позволяет применять закон сохранения импульсов даже в тех случаях, когда на систему действуют внешние силы. Импульс этих сил за ничтожно малое время взаимодействия тел будет тоже ничтожно мал и практически не влияет на скорость тел. Именно по этой причине не учитывается действие силы тяжести и силы сопротивления на тела, находящиеся у поверхности Земли, при их столкновениях или разрывах.

Это предположение эквивалентно тому, что при разрывах и соударениях тел в неизолированных системах мы обычно считаем, что внутренние силы системы намного превосходят внешние и поэтому изменение импульса тел в этих процессах практически обусловлено лишь действием внутренних сил. Изменение импульса тел под действием внешних сил за время быстрых процессов не учитывается. Как в первом, так и во втором случаях при решении задач на закон сохранения импульсов предполагается, что в процессе быстрого взаимодействия тела не успевают заметно сместиться и, следовательно, их скорости изменяются в данной точке пространства мгновенно.

б) Сделать чертеж, где для каждого тела системы изобразить векторы импульса в начале и в конце рассматриваемого процесса.

в) Выбрать прямоугольную систему координат, разложить по осям ОХ и OY каждый вектор импульса на составляющие и .

Найти их проекции на эти оси.

Оси координат удобно выбирать так, чтобы приходилось делать минимум разложений и чтобы, по крайней мере, вдоль одной из осей

система была изолированной. В тех случаях, когда все векторы К, направлены по одной прямой и внешние силы вдоль нее не действуют или в сумме равны нулю, никакого разложения векторов делать, конечно, не следует, однако выбрать ось ОХ и установить на ней положительное направление и найти проекции импульсов необходимо.

г) Составить уравнение закона сохранения импульса частиц в проекциях по осям ОХ и OY или в форме уравнений

или, что делают чаще, в форме равенств

где p_ix, p_iy и т. д. - проекции векторов импульса тел соответственно до и после их изменения.

Составляя уравнения, нужно внимательно следить за знаками проекций импульсов.

Если направление вектора или его составляющих совпадает с положительным направлением координатной оси, то проекция берется со знаком «+», если нет то со знаком «-».

д) Затем, как обычно, необходимо выписать численные значения заданных величин, определить число неизвестных в уравнении закона сохранения, добавить к нему, если неизвестных больше одного, формулы кинематики и решить полученную систему.

Примеры

Пример 1. Вагон массой 20 т движется с постоянным отрицательным ускорением равным 0,3 м/с² и ν = 54 км/ч

1) Какая сила торможения действует на вагон?

2) Через сколько времени вагон остановится?

3) Какое расстояние вагон пройдет до остановки?

Дано:

m=20 т=2*10⁴ кг

a=0,3 м/сек²

v₀=15 м/сек

F -? t -? s -?

Решение

Силой торможения является сила трения, создающая отрицательным ускорением вагона

Время движения вагона до остановки и пройденное им расстояние найдем из уравнений равнозамедленного движения:

4. Тело весом 3 кг падает в воздухе вертикально вниз с ускорением 8 м/сек². Найти силу сопротивления воздуха.

Рис 2.1

Дано:

Р=3кГ=29,4 н

a=8 м/сек²

m=3 кг

F -?

Решение

На падающее в воздухе тело действует две силы (рис 2.1): 1) – вес тела, т. е. сила, действующая со стороны Земли; 2) – сила сопротивления со стороны воздуха. Ускорение направлено вниз, поэтому Р>F

Согласно второму закону Ньютона

откуда

Пример 3. Спортсмен с парашютом покидает планер, скоростью которого можно пренебречь. Парашют резко раскрывается через 2 сек.

1. Найти длину пути падения спортсмена с закрытым парашютом и скорость в момент его раскрытия парашюта. Сопротивлением воздуха на сложенный парашют можно пренебречь.

2. Подсчитать предельную скорость падения спортсмена, зная, что он весит 70 кг. Сопротивлением воздуха при закрытом парашюте можно считать пропорциональным скорости падения и равным 35 кг на 1 м/сек.

Дано:

Т=2 сек

G=9,8 м/с²

Р=70 кг=686 Н

F=343 Н на 1 м/с²

Н -? v -? v_m -?

Решение

1. При закрытом парашюте спортсмен совершает свобод. падение, следовательно, пройденный им путь и конечная скорость свободного падения могут быть определены из уравнений

Парашют резко раскрывается, при этом сопротивление воздуха резко возрастает

Для того чтобы движение стало равномерным, оно должно возрасти еще на

При нем скорость возрастает на

следовательно

5. Деревянный брусок весом 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза весом 0,5 кг прикрепленного к концу шнура, перекинутого через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность равен 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити.

Дано:

p₁=2 кГ=19,6 н

p₂=0,5 кГ=4,9 н

k=0,1

m₁=2 кг

m₂=0,5 кн

a -? F_н -?

Решение

Когда в движении одновременно находятся несколько тел, второй закон Ньютона записывают для каждого тела в отдельности, а затем решают совместно полученную систему уравнений. На первое тело действуют силы (рис. 2.2):

Р1 – вес первого тела, т. е. сила со стороны Земли

F1 – сила реакции, т. е. сила, с которой поверхность действует на тело,

F_н – сила натяжения нити

F_тр – сила трения.

Найдем равнодействующую этих сил. Силы Р1 и F1 действуют по вертикали, а поскольку в вертикальном направлении первое тело не движется, то Р₁ = F₁.

Рис 2.2

Первое тело движется равноускоренно направо, поэтому F_н> F_тр и их равнодействующая

Согласно второму закону Ньютона

или

По определению силы трения

Рис.2.2

где Р_н – сила нормального давления тела на плоскость. В нашем случае Р_н = Р₁. Тогда

На второе тело действуют силы:

Р₂ – вес, т.е. сила со стороны Земли;

F_н – сила натяжения нити.

Второе тело движется равноускоренно вниз, т. е.

поэтому

Согласно второму закону Ньютона

или

Решим совместно систему двух уравнений:

Сложим уравнения почленно:

откуда

Пример 5. Определить силу натяжения канатов при равнозамедленном подъеме лифта весом 600 кг. если ускорение движения равно 1 м/сек²

Дано:

Р=600 кГ=5880 н

a=1 м/сек²

m=600 кг

F -?

Решение

Поскольку при замедлении ускорение направлено в сторону, противоположную движению (рис. 2.3).

Потому Р>F и равнодействующая этих сил

Применяем второй закон Ньютона:

или

откуда

Следовательно, при равнозамедленном подъеме лифта сила натяжения меньше веса лифта.

Пример 6. Груз массой 5 кг, связанный нитью, перекинутой через неподвижный блок с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти натяжение нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1; угол наклона плоскости к горизонту 36^о

Дано:

m₁=5кг

m₂=2 кг

к=0,1 сек²

a=36 ^о

F_н -? а -?

Решение

Рис2.3

На первое тело действую силы: вес Р;

Сила нормальной реакции наклонной плоскости N;

Сила натяжения нити F

Сила трения F_тр

Пренебрегая размерами тела, перенесем точку приложения F_тр в цент тяжести тела (рис. 2.4).

Напишем второй закон Ньютона для первого тела:

(1)

Где R – равнодействующая сил Р и N

(2)

По определению F_тр= кF_д, где F_д – сила нормального давления тела на наклонную плоскость.

следовательно

тогда

(3)

Подставим значение (2) и (3) в уравнение (1):

На второе тело действуют силы: вес Р₂ и сила натяжения нити Fн_.

Напишем второй закон Ньютона для второго тела:

Решим систему полученных уравнений (4) и (5),

откуда

Рис 2.4

Рис 2.4

Пример 7. С вершины А наклонной плоскости длиной 8 м начинает скользить без начальной скорости маленькая тележка массой 1 кг. Через 4 сек она приходит в точку В конце наклонной плоскости.1. Пренебрегая трением, рассчитать угол, образованный линией АВ с горизонтом. 2. Какова будет скорость тележки в точке В? 3. какое количество теплоты выделится, если тележка внезапно остановится в точке В, при этом вся ее кинетическая энергия перейдет в тепло?

Дано:

l =8кг

m =1 кг

t =4 сек²

v-? а -? Q -?

Решение

Тележка движется вдоль наклонной плоскости равноускоренно; следовательно

откуда

Разложим вес тележки на две составляющие: скатывающую силу F_ск, параллельную наклонной плоскости, и силу нормального давления Р, перпендикулярно наклонной плоскости (рис. 2.5).

Сила Р уравновешена реакцией наклонной плоскости, F_ск приводит в равноускоренное движение тележку:

Из силового треугольника

подставляя числовые значения, получим

Скорость тележки в точке В

Кинетическая энергия тележки в точке В

Рис 2.5

По условию задачи кинетическая энергия в точке В целиком переходит в тепло при внезапной остановке:

Пример 8. Тело массой 0,2 кг свободно падает с высоты 1 м. Найти изменение количества движения этого тела.

Дано:

m =0,2 кг

g =9,8 м/сек²

h =1 м

D(mv)-?

Решение

Изменение количества движения тела

Так как тело начало падать из состояния покоя, тоv₁=0; v₂ может быть найдена из уравнения равноускоренного движения:

тогда

Пример 9. Масса и вес одного и того же тела, выраженные в граммах или килограммах, численно совпадают. Например, если масса m = 3 кг, то вес Р = 3кг. С другой стороны, соотношение Р = mg показывает, что вес и масса не равны. Как объяснить это кажущуюся противоречие?

Решение

Соотношение Р = mg требует применения одной какой-то системы единиц. Например, как известно, в системе СИ масса измеряется в кг, а сила в Н.

Если m = 3 кг, то Р = mg = 3 кг *9,8 м/с² = 29,4 кгм/с² (н)

Если же вес и масса имеют одно наименование, то речь идет о различных системах единиц.

Например,

M = 3 кг – масса выражена в СИ; Р = 3 кг – вес выражен в МКГСС.

Пример 10. По столу тянут груз при помощи нити, прикрепленной к динамометру. Динамометр показывает 3 кг. Второй раз тот же груз приводят в движение при помощи нити, перекинутой через неподвижный блок, на котором висит гиря 3 кг. В каком случае груз движется быстрее?

Решение

Очевидно, что во втором случае сила натяжения нити, движущая груз, меньше 3 кг; следовательно в первом случае груз движется быстрее

Пример 11. Почему скорость поезда на горизонтальном пути не возрастает бесконечно, если сила тяги паровоза действует непрерывно?

Отв. Сила тяги уравновешивается силой трения о рельсы и воздух.

Пример 12.Камень падает потому, что его притягивает Земля. В чем неточность этого выражения?

Отв. Нет тел, только действующих или только испытывающих действие, а есть равноправные взаимодействующие тела. Следовательно, нужно сказать: камень и Земля взаимно притягивают друг друга, но вследствие огромной массы Земли мы не обнаруживаем ее движения по направлению к камню.

Пример 13. Как объяснить, что бегущий человек, споткнувшись, падает в направлении своего движения, а человек, поскользнувшийся на льду, падает в направлении, противоположном своего движения?

Отв. Явление легко объясняется на основании первого закона Ньютона. В первом случаи ноги человека замедляют движение, а туловище сохранят по инерции прежнее состояние движения, и человек падает в направлении движения.

Во втором случае туловище по инерции сохраняет состояние покоя, в то время как ноги начинают скользить вперед, и человек падает назад.

Пример 14. Каково центростремительное ускорение тела на экваторе, вызванное вращением Земли? Длина окружности земного экватора 40 000 км, радиус Земли 6360 км.

Дано:

S =40000 км=4*10⁷ м

r =6360 км=6,36*10⁶ м

t =24 ч=8,64*10⁴ сек

а_ц-?

Решение

Рис 2.5

Тело находящиеся на экваторе, проходит длину его окружности за одни сутки со скоростью

центростремительное ускорение тела

тогда

;

;

Пример 15. Автомобиль с грузом весом 5 т проходит по выпуклому мосту со скоростью 21,6 км/ч. С какой силой давит он на середину моста, если радиус кривизны моста 50 м?

Дано:

m =5*10³ кг

Р =5 Т=4,9*10⁴ н

v =21,6 км/ч=6 м/сек

r =50 м

F-?

Решение

На автомобиль действуют две силы: Р – вес автомобиля; F_p – сила реакции моста. Их равнодействующая R должна быть направлена к центру окружности, поэтому Р > F_р:

Согласно второму закону Ньютона

где

следовательно

Рис.2.6

Рис 2.6

По третьему закону Ньютона с такой же силой автомобиль будет давить на мост, т. е. F = F_р

Таким образом, автомобиль давит на выпуклый мост с силой меньшей, чем его вес.

Пример 16. Ведерко с водой вращают в вертикальной плоскости на веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку удержать ведерко и воду на окружности.

Дано:

r =0,5 м

v-?

Решение

На воду в ведерке действуют силы (рис.2.7).

Р – вес воды; Fр - сила реакции дна. Обе силы в верхней точке траектории направлены по одной прямой вниз, поэтому

По второму закону Ньютона

откуда

В момент отрыва F_р = 0. Тогда

;

Рис 2.8

Рис 2.7

19. Конькобежец движется со скоростью 12 м/сек по окружности радиусом 50 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

Решение

На конькобежца действует три силы

Рис.2.8

(рис.2.8).его вес Р, сила реакции Дороги N и сила трения F, которая

Рис.2.7

соскальзыванию конькобежца в сторону, противоположную закруглению, и направлена по радиусу к центру. Равнодействующей сил N и F является Fр, проходящая через центр тяжести. Общую их равнодействующую R находим по правилу параллелограмма (слагаемые силы Р и F_р приложены в центре тяжести конькобежца), поэтому перенесем точку приложения вектора F_р из точки А в центр тяжести конькобежца (см. рис. 2.8). Из ∆АВС

Согласно второму закону Ньютона

где

тогда

Пример 18. С какой скоростью надо вращать карусель, чтобы лодочки, подвешенные к кругу S на подвесах длиной 5 м, отклонилась от вертикали на угол α = 30^о

Дано:

l =5м

а=30°=p/6

r₁ =5 м

v-?

Решение

На лодочку действуют силы Р – вес и F – сила натяжения подвеса (рисунок 2.9) Их равнодействующая может быть найдена по правилу параллелограмма и направлена к центру окружности. Из D АВС

или, так как АС = R, СВ = Р, то

2.9

По второму закону Ньютона

где

;

Из ∆АDЕ

так как АD = l, то

21.Летчик давит на сиденье кресла самолет в нижней точке петли Нестерова с силой 720 кг. Вес летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определить скорость самолета.

Дано

F = 720 кг = 720*9,8 н = 7056н

F = 80 кг =80 * 9,8 н = 784н

M = 80 кг

R = 259 м

V -?

Решение

На летчика действуют две силы (рис 2.10): его вес Р и сила реакции F_p со стороны сиденья. Поскольку в нижней точке обе силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, то их равнодействующая

Рис 2.10

Рис 2.9

Применяем второй закон Ньютона:

тогда

откуда

Согласно третьему закону Ньютона F_р = F_д

Глава III

Дата добавления: 2015-10-24